[논문 리뷰] Estimating Extremal Dependence in Univariate and Multivariate Time Series via the Extremogram

Richard A. Davis, Thomas Mikosch외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 07. 27.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 17인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 극값 의존성 분석에서 중요한 도구인 극값도구(extremogram)에 대한 신뢰구간을 구축하기 위한 강력한 방법으로 정적 부트스트랩(stationary bootstrap)을 제안한다. 이는 단변량 및 다변량 시간열에서의 극값 의존성을 측정하는 데 사용되며, 다변량 의존성 분석을 위해 교차 극값도구(cross-extremogram)로 확장하고 금융 시간열에 적용하여 꼬리 의존성 지속성에 대한 개선된 추론을 보여준다.

ABSTRACT

Davis and Mikosch [7] introduced the extremogram as a flexible quantitative tool for measuring various types of extremal dependence in a stationary time series. There we showed some standard statistical properties of the sample extremogram. A major difficulty was the construction of credible confidence bands for the extremogram. In this paper, we employ the stationary bootstrap to overcome this problem. Moreover, we introduce the cross extremogram as a measure of extremal serial dependence between two or more time series. We also study the extremogram for return times between extremal events. The use of the stationary bootstrap for the extremogram and the resulting interpretations are illustrated in several univariate and multivariate financial time series examples.

연구 동기 및 목표

• 극값 의존성 분석에서 핵심 과제인 극값도구에 대한 신뢰할 수 있는 신뢰구간이 부족한 문제를 해결하기 위해.
• 다변량 설정으로의 극값도구 확장을 위해 교차 극값도구를 통해 시간열 간 순차 의존성을 측정하기 위해.
• 고밀도 꼬리 분포를 가진 금융 시간열에서 꼬리 의존성을 추정하기 위한 실용적이고 비점근적 프레임워크를 제공하기 위해.
• 기존 점근적 추론에서 극값도구의 편향과 분산 추정 문제를 해결하기 위해 리샘플링 기법을 사용하기 위해.
• 실제 금융 데이터에 대한 실증 응용을 통해 극단적 사건의 지속성 등을 보여주는 방법의 유용성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 표본 극값도구의 표집 분포를 근사하기 위해 정적 부트스트랩을 사용하여 타당한 신뢰구간을 도출한다.
• 모집단 극값도구의 이론적 극한을 대체하기 위해 극한 분포의 고밀도 분위수 $ a_m $ 를 사용하여 표본 극값도구를 정의한다.
• 표본 극값도구의 목표 파ameter로 사전 점근적 극값도구 $ \rho_{A,B:m}(h) $ 를 사용하며, 이는 시간 0에서 극단적 사건이 발생했을 때 지연 $ h $ 에서 극단적 사건이 발생할 조건부 확률을 나타낸다.
• 부트스트랩 통계량에 대한 다변량 중심극한정리에 기반하여 부트스트랩 추정량의 점근 정규성을 정당화한다.
• 혼합 조건과 에르고딕성 가정을 사용하여 부트스트랩 추정량의 점근 공분산 구조를 유도한다.
• 크라머-월드 장치(Cramér-Wold device)와 삼각형 배열 추론을 사용하여 부트스트랩 분포의 약한 수렴을 다변량 정규 극한으로 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 점근 분산 추정이 불가능한 상황에서 극값도구에 대한 신뢰할 수 있는 신뢰구간을 어떻게 구축할 수 있는가?
• RQ2 비.i.i.d. 및 무거운 꼬리를 가진 시간열, 특히 금융 자료에서 극값도구의 행동은 어떠한가?
• RQ3 단변량 꼬리 의존성 외에 다수의 시간열 간의 극값 의존성을 어떻게 측정할 수 있는가?
• RQ4 약한 의존성 하에서 정적 부트스트랩이 극값도구 추정량의 표집 분포를 일致적으로 추정할 수 있는가?
• RQ5 고밀도 분위수 추정이 유한 표본에서 극값도구의 편향과 분산에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 정적 부트스트랩은 점근적으로 타당한 신뢰구간을 제공하여 점근 분산 추정의 비가역성 문제를 해결한다.
• 교차 극값도구는 다변량 설정으로의 확장을 통해 다수의 시간열 간 극값 순차 의존성을 효과적으로 캡처한다.
• 사전 점근적 극값도구 $ \rho_{A,B:m}(h) $ 는 모집단 극값도구의 극한을 계산하기 어려운 경우에도 일致적이고 해석 가능한 꼬리 의존성 추정량이다.
• 혼합 조건과 모멘트 조건 하에서 부트스트랩 추정량의 점근 분포는 다변량 정규 분포로 수렴한다.
• 이 방법은 금융 시간열에 대해 실증적으로 검증되었으며, 극단적 수익의 뚜렷한 지속성과 극단적 사건의 군집 현상을 드러냈다.
• 부트스트랩 기반 추론은 모형 오특정과 중성 꼬리 분포에 대해 강건하여 실제 금융 자료 분석에 적합하다.