[논문 리뷰] Estimating nonlinearities in twophase flow in porous media

Jianfeng Zhang, Guy Chavent외 1명|arXiv (Cornell University)|2009. 04. 09.

Reservoir Engineering and Simulation Methods참고 문헌 24인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다孔성 매체를 통한 1차원 이상태 유동에서 상대 투수도 및 모세관 압력 함수를 추정하기 위한 기하학적 비선형 분석 프레임워크를 제시한다. 실험실 실험의 역모델링을 통해 이루어지며, 선형 및 비선형 안정성 분석과 헤시안 기반 불확실성 정량화를 결합함으로써, 비선형 최소제곱 문제의 Q-잘정의성과 추정된 매개변수에 대한 날카운 신뢰 영역을 입증한다. 측정 밀도가 증가할수록 불확실성이 감소함을 보여준다.

ABSTRACT

In order to analyze numerically inverse problems several techniques based on linear and nonlinear stability analysis are presented. These techniques are illustrated on the problem of estimating mobilities and capillary pressure in one-dimensional two-phase displacements in porous media that are performed in laboratories. This is an example of the problem of estimating nonlinear coefficients in a system of nonlinear partial differential equations.

연구 동기 및 목표

• 다孔성 매체에서 실험 조건 하에서 상대 투수도 및 모세관 압력과 같은 비선형 계수를 추정하기 위한 강력한 수치적 프레임워크를 개발하는 것.
• 비선형 편미분 방정식으로 지배되는 1차원 이상태 유동에서의 매개변수 추정 역문제를 다루는 것.
• 균일 및 방향성 1차 안정성 추정을 통해 추정된 매개변수의 불확실성을 정량화하는 것.
• 제한된 측정치가 존재하는 실제 실험 환경에서 비선형 안정성 분석의 실용적 적용 가능성을 입증하는 것.
• 측정 밀도를 증가시킬수록 매개변수 안정성이 향상되고 불확실성 구간이 감소함을 보여주는 것.

제안 방법

• 다孔성 매체에서 이상태 유동을 Darcy의 법칙과 함께 포화도에 의존하는 이동도 및 모세관 압력 함수를 포함하는 전역 압력 모델로 기술한다.
• 추정된 포화도에 의존하는 계수를 위한 비선형 최소제곱 최소화 문제로 역문제를 재구성한다.
• 선형 안정성 분석을 적용하여 잘정의성과 추정된 매개변수 주변의 안정성 영역을 평가한다.
• 헤시안 기반 기하학적 분석을 활용하여 추정된 매개변수의 신뢰 영역 및 불확실성 구간을 계산한다.
• 모서리에서의 극값 해를 사용하여 신뢰 구간을 계산하고 해의 안정성을 검증한다.
• 30개 및 90개의 포화도 측정치를 가진 합성 데이터를 사용하여 수치적 검증을 수행하고, 다양한 측정 밀도에서의 불확실성 구간을 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다孔성 매체를 통한 이상태 유동에서 역문제의 잘정의성 평가에 비선형 안정성 분석을 어떻게 활용할 수 있는가?
• RQ2 측정 밀도가 추정된 상대 투수도 및 모세관 압력 함수의 안정성과 불확실성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 균일 및 방향성 1차 불확실성 추정 간의 날카움과 실용적 관련성은 어떻게 비교할 수 있는가?
• RQ4 완전한 통계 모델링 없이도 기하학적 비선형 분석 도구가 매개변수 불확실성을 신뢰성 있게 정량화할 수 있는가?
• RQ5 비선형 최소제곱 문제의 매개변수 추정이 Q-잘정의가 되기 위한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 측정 오차가 유계일 경우 비선형 최소제곱 문제의 Q-잘정의성은 보장된다: 30개 측정치일 경우 오차 범위는 노름으로 ≤1.11×10⁻³ 이하여야 하고, 90개 측정치일 경우 ≤1.7×10⁻² 이하여야 한다.
• 1회 측정당 포화도 오차가 7.3×10⁻⁵일 경우, 매개변수 벡터에 대한 균일한 불확실성 추정은 30개 측정치에 대해 ∥δp∥ ≤ 0.0191, 90개 측정치에 대해 ≤0.0027이다.
• 방향성 1차 불확실성 추정(식 20)은 균일한 추정(식 18)보다 훨씬 더 작은 불확실성 영역을 생성하여 더 날카운 경계임을 확인한다.
• 불확실성 영역은 최적의 매개변수 값 p₀에 영향을 받지 않지만, 측정 밀도와 오차 크기에 따라 크기가 달라진다.
• 측정 수를 30개에서 90개로 증가시킬 경우 매개변수 불확실성이 약 7배 감소하여 안정성이 향상됨을 보여준다.
• 헤시안 기반 기하학적 분석은 전체 베이지안 추론이나 강력한 통계적 가정 없이도 신뢰 영역을 신뢰성 있게 구성할 수 있게 한다.