[논문 리뷰] Estimating occupation time functionals

Randolf Altmeyer|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 11.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 24인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 이산적으로 관측된 $d$-차원 càdlàg 과정의 직업 시간 기능에 대해 $L^2$-근사법을 개발하며, 마코프성 대신 국소적 정규성에 기반한다. 추정 오차에 대한 날카운 상한을 확립하였으며, 이는 브라운 운동의 경우 정확히(소수의 다항인자 이내로) 날카로운 것으로 입증되었고, 분수적 브라운 운동에 처음으로 적용되었다.

ABSTRACT

The strong $L^2$-approximation of occupation time functionals is studied with respect to discrete observations of a $d$-dimensional cadlag process. Upper bounds on the error are obtained under weak assumptions, generalizing previous results in the literature considerably. The approach relies on regularity for the marginals of the process and applies also to non-Markovian processes. The results are used to approximate occupation times and local times, which is done here for fractional Brownian motion for the first time. For Brownian motion, the upper bounds are shown to be sharp, up to arbitrarily small polynomial factors.

연구 동기 및 목표

• 이산적 관측 하에서 $d$-차원 càdlàg 과정의 직업 시간 기능에 대해 강건한 $L^2$-근사 프레임워크를 개발하는 것.
• 특히 마코프성 구조가 필요하지 않도록 가정을 완화함으로써 이전 결과를 일반화하는 것.
• 비마코프성 과정, 특히 분수적 브라운 운동에 적용 가능한 오차 상한을 제공하는 것.
• 브라운 운동의 경우 오차 상한이 임의로 작은 다항인자 이내로 날카로운 것으로 입증하는 것.
• 분수적 브라운 운동에 대해 국소 시간과 직업 시간의 첫 번째 근사화를 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 과정의 유한차원 주변분포에 대한 정규성 조건을 활용하여 오차 상한을 도출하는 것.
• 과정의 이산 관측 체계에 강력한 $L^2$-근사 기법을 적용하는 것.
• 약한 모멘트 및 연속성 가정 하에서 직업 시간 기능 추정기의 $L^2$-오차에 대한 상한을 도출하는 것.
• 근사 오차를 제어하기 위해 직업 시간 기능을 가측성 성분으로 분해하는 것.
• 전이 구조가 아닌 경로의 정규성과 주변행동에 초점을 맞춤으로써 비마코프성 과정으로 프레임워크를 확장하는 것.
• 브라운 운동의 경우에 대해 하한의 다항인자와 일치함을 통해 상한의 날카로움을 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기저 과정에 대한 최소한의 가정 하에 이산 관측 하에서 직업 시간 기능은 어떻게 근사할 수 있는가?
• RQ2 과정이 비마코프성일 경우 $L^2$-근사의 직업 시간에 대해 어떤 오차 상한을 확립할 수 있는가?
• RQ3 유도된 오차 상한은 표준 확산 과정인 브라운 운동의 경우 날카로운가?
• RQ4 제안된 방법은 분수적 브라운 운동과 같은 자기유사 과정으로 확장될 수 있는가?
• RQ5 일반적인 càdlàg 과정의 경우, 주변 정규성은 근사 오차 제어에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 제안된 $L^2$-근사 방법은 약한 가정 하에 추정 오차에 대한 상한을 달성하며, 이는 이전 결과를 크게 일반화한다.
• 브라운 운동의 경우 오차 상한이 임의로 작은 다항인자 이내로 날카로운 것으로 입증되어 그 엄밀함이 확인된다.
• 과정의 마코프성 전이 법칙 대신 유한차원 주변분포의 정규성에 기반함으로써 비마코프성 과정에 적용 가능하다.
• 이 논문은 분수적 브라운 운동에 대해 국소 시간과 직업 시간의 근사화를 처음으로 가능하게 한다.
• 마코프성과 비마코프성 과정, 특히 자기유사 과정까지 포함한 직업 시간 추정에 통합적인 접근을 제공한다.