[논문 리뷰] Estimating the Entanglement Negativity from low-order moments of the partially transposed density matrix

Hilary A. Carteret|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 27.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 부분적으로 전치된 밀도 행렬의 저차수 모멘트만을 사용하여 이원분할 양자 시스템의 얽힘 부정확도를 모델에 종속되지 않고 추정하는 방법을 제시한다. 이러한 모멘트로부터 주된 표현을 구성함으로써 상한과 하한의 가족을 도출하며, 세 개의 복제본을 사용할 경우 하한을, 네 개의 복제본을 사용할 경우 상한을 달성함으로써 통계적 노이즈나 제한된 데이터 조건에서도 견고한 얽힘 추정이 가능하다.

ABSTRACT

We show how to find families of infima and suprema for the entanglement negativity using only a few, low-order moments of the partially transposed density matrix $ρ^{T_2}.$ These moments can be measured using the multi-copy quantum circuits previously given by the author, which define a set of multi-copy expectation values and thus can be used with the replica trick. As such, these bounds are suitable for use with Quantum Monte Carlo methods, and the lower order versions of the estimates may be experimentally accessible for some systems. Using more moments for higher-order versions of these methods will produce tighter estimates, unless and until statistical noise causes the measurement of the highest order moment to fail. Should this happen, the data from lower order moments can still be used for lower-order estimates.

연구 동기 및 목표

• 부분적으로 전치된 밀도 행렬의 스펙트럼을 완전히 알지 못해도 얽힘 부정확도를 추정할 수 있는 방법을 개발하는 것.
• 밀도 행렬의 몇 가지 저차수 모멘트만을 사용하여 얽힘 부정확도에 대한 계산 가능한 상한과 하한을 제공하는 것.
• 높은 차수의 모멘트가 실패할 경우에도 저차수 추정이 유효하도록 하여 양자 몬테카를로나 실험적 환경에서의 통계적 노이즈에 대한 저항성을 확보하는 것.
• 유한 온도 및 혼합 상태 시스템에서의 얽힘 스케일링과 장거리 상관관계 연구를 가능하게 하는 것.
• 유도된 상한과 하한이 얽힘 모노톤으로 해석될 수 있는지, 또는 양자 회로에 구현되어 정제 프로토콜에 사용될 수 있는지 탐색하는 것.

제안 방법

• 부분적으로 전치된 밀도 행렬 $\rho^{T_2}$ 의 저차수 모멘트(최대 4차까지)를 입력으로 사용하며, 이는 다중복제 양자 회로 또는 양자 몬테카를로를 통해 확보된다.
• 복제 기법을 적용하여 $\rho^{T_2}$ 의 모멘트를 그 거듭제곱의 트레이스와 연결함으로써 고유값 재구성에 적합한 방정식 시스템을 형성한다.
• 고유값 스펙트럼을 모델링하기 위해 근이 $a$, $\lambda_1$, $\lambda_2$ 에 있는 주요 표현을 구성하며, 각각의 무게는 $M_a$, $M_1$, $M_2$ 로 설정한다.
• 모멘트 방정식 $c_j = \sum M_i \lambda_i^j$ 에 대해 가우스 소거법을 적용하여 무게를 구한다. 여기서 $c_{2k} = \mu_{2k}$ 와 $c_{2k+1} = \nu_{2k+1}$ 를 사용한다.
• 고유값 스펙트럼의 주요 표현을 바탕으로 부정확도에 대한 상한과 하한을 유도하며, 공식 $\mathcal{N} = \frac{1}{2}((|\lambda_1| - \lambda_1)M_1 + M_a)$ 를 사용한다. 여기서 $M_1$ 과 $M_a$ 는 모멘트 제약 조건으로부터 해를 구한다.
• 상한 또는 하한으로 간주하는 방식을 $\lambda_1$ 의 부호에 따라 결정함으로써, 가장 작은 고유값의 부호를 모를 경우에도 유효성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부분적으로 전치된 밀도 행렬의 몇 가지 저차수 모멘트만으로도 얽힘 부정확도를 신뢰성 있게 추정할 수 있는가?
• RQ2 스펙트럼에 대한 완전한 지식 없이도 상한과 하한을 체계적으로 도출할 수 있는가?
• RQ3 높은 차수의 모멘트가 통계적 노이즈로 인해 손상될 경우에도 이 방법이 유지되는가?
• RQ4 유도된 상한과 하한은 얽힘 모노톤으로 간주될 수 있으며, 양자 회로에 구현되어 정제 프로토콜에 사용될 수 있는가?
• RQ5 이 방법은 유한 온도 시스템에서 면적 법칙의 위반과 장거리 얽힘을 탐지할 수 있는가?

주요 결과

• 세 개의 복제본(즉, 3차 모멘트)만으로도 얽힘 부정확도의 하한을 확보할 수 있어 노이즈가 많거나 데이터가 제한된 환경에서도 접근 가능하다.
• 네 개의 복제본(4차 모멘트)을 사용할 경우 부정확도의 상한을 확보할 수 있으며, 더 높은 차수의 데이터가 가용할 경우 더욱 날카운 추정이 가능하다.
• 최고차수 모멘트가 노이즈로 인해 실패하더라도, 이전의 저차수 모멘트로부터 여전히 추정을 수행할 수 있어 방법이 기능을 유지한다.
• 상한과 하한은 $a$, $\lambda_1$, $\lambda_2$ 를 근으로 하고, 모멘트 제약 조건에 의해 결정된 무게를 가진 주요 표현을 통해 도출된다.
• 유도된 상한과 하한의 표현식은 명시적 형태이며, 측정 가능한 모멘트에만 의존하며, $\mu_2, \nu_3, \mu_4, \lambda_1, \lambda_2, a$ 에 대해 $M_a$ 와 $M_1$ 의 닫힌 형태 해가 존재한다.
• 이 방법은 완전히 모델에 종속되지 않으며, 양자 몬테카를로, 실험적 설정, 혼합 상태 또는 유한 온도 상태를 가진 시스템에 모두 적합하다.