[논문 리뷰] Estimation and Inference for Moments of Ratios with Robustness against Large Trimming Bias

Yuya Sasaki, Takuya Ura|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 04.

Statistical Methods and Inference참고 문헌 34인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 분포 꼬리가 두꺼운 경우에도 타당한 추론을 가능하게 하기 위해, 조건부 기대값 $\mathbb{E}[B|A = a]$의 부드러움을 활용하여 $\mathbb{E}[B/A]$의 모멘트에 대한 편향 보정된 잘라내기 추정량을 제안한다. 이 방법은 꼬리 지수 제약 조건이 없이도 큰 잘라내기 편향을 보정하며, 무거운 꼬리 분포 하에서도 渐近적으로 타당한 추론을 가능하게 한다. 시뮬레이션과 미국 제조 기업에 대한 실증 적용을 통해 잘라내기 임계값 선택에 대한 강건성도 입증된다.

ABSTRACT

Empirical researchers often trim observations with small denominator A when they estimate moments of the form E[B/A]. Large trimming is a common practice to mitigate variance, but it incurs large trimming bias. This paper provides a novel method of correcting large trimming bias. If a researcher is willing to assume that the joint distribution between A and B is smooth, then a large trimming bias may be estimated well. With the bias correction, we also develop a valid and robust inference result for E[B/A].

연구 동기 및 목표

• 실증 연구에서 흔히 사용되는 분모 값이 작은 경우의 잘라내기로 인해 발생하는 큰 편향을 해결하기 위해.
• 분포 $B/A$가 무거운 꼬리를 가질 경우에도 비율의 모멘트에 대한 타당한 渐近적 추론을 보장하기 위해.
• 이전 연구에서 사용된 제한적인 꼬리 행동 가정(예: 지수 >1인 정규적으로 변화하는 꼬리)을 제거하기 위해.
• 조건부 기대값 $\mathbb{E}[B|A = a]$의 부드러움 가정을 통해 잘라내기 임계값의 허용 범위를 넓혀 추론의 강건성을 향상시키기 위해.
• 금융 및 경제학 데이터에서 비율 모멘트를 다루는 실증 연구자들에게 실용적이고 이론적으로 타당한 방법을 제공하기 위해.

제안 방법

• 잘라낸 표본 평균 $\widetilde{\theta}(h_n)$ 과 잘라내기 편향을 추정하는 $\widehat{\lambda}(h_n)$을 이용해 편향 보정된 잘라내기 추정량 $\widehat{\theta}(h_n) = \widetilde{\theta}(h_n) - \widehat{\lambda}(h_n)$을 제안한다.
• 함수 $a \mapsto \mathbb{E}[B|A = a]$의 부드러움을 활용하여 비모수적으로 편향 항 $\widehat{\lambda}(h_n)$을 추정한다.
• 커널 기반 비모수 회귀를 사용하여 $\mathbb{E}[B|A = a]$를 추정하고, 국소 다항 근사에 기반한 편향 보정을 도출한다.
• 추정량에 대한 선형 표현을 유도하여 $\widehat{\theta}(h_n) - \theta(h_n) - \lambda(h_n) = (\mathbb{E}_n - \mathbb{E})[Z(h_n)] + o_p(n^{-1/2})$를 도출함으로써 渐近 정규성을 보장한다.
• 선형 표현에 기반한 추론 절차를 개발하여, 약한 모멘트 조건과 부드러움 조건 하에서도 渐近적으로 타당한 추론을 보장한다.
• 고차항 전개와 영향 함수 기법을 사용하여, 무거운 꼬리 비율이 존재할 경우의 편향-분산 트레이드오프를 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비율 $\mathbb{E}[B/A]$에 대한 편향 보정된 잘라내기 추정량이 꼬리 지수 제약 조건 없이도 渐近 정규성을 확보할 수 있는가?
• RQ2 조건부 기대값 $\mathbb{E}[B|A = a]$의 부드러움이 잘라내기 임계값 $h_n$ 선택에 대한 추론의 강건성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 제안된 방법이 표준 추정량이 실패하는 무거운 꼬리 분포를 가진 $B/A$에 대해서도 타당한 추론을 유지할 수 있는가?
• RQ4 비율 $B/A$의 분포가 무한한 분산을 가질 경우, 편향 보정의 이론적 근거는 무엇인가?
• RQ5 유한 표본에서의 편향, 분산 및 강건성 측면에서 기존 방법과 비교해 볼 때, 이 방법은 어떻게 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• 제안된 편향 보정 추정량은 비율 분포가 꼬리 지수가 2 미만이더라도 여전히 $\mathbb{E}[B/A]$에 대해 渐近 정규성을 확보한다.
• 이전 연구에서 요구한 정규적으로 변화하는 꼬리와 지수 >1의 가정이 없이도, 본 방법은 성립한다.
• 조건부 기대값 $\mathbb{E}[B|A = a]$의 부드러움 가정 덕분에 잘라내기 임계값 $h_n$의 허용 범위가 크게 넓어져 강건성이 향상된다.
• 시뮬레이션 결과는 본 방법이 무거운 꼬리 분포를 가진 데이터 생성 과정 하에서 난이도 있는 잘라내기 추정량보다 편향과 신뢰구간 커버리지 측면에서 뛰어난 성능을 보임을 보여준다.
• Compustat 데이터에 대한 실증 적용 결과, 2000~2010년 동안 미국 제조 기업의 외부 금융 의존도에 대해 안정적인 추정치를 도출하였으며, 다양한 잘라내기 수준에서도 타당한 추론이 가능했다.
• 이론적 유도 결과, 미약한 정규성 조건 하에서도 선형 표현 $\widehat{\theta}(h_n) - \theta(h_n) - \lambda(h_n) = (\mathbb{E}_n - \mathbb{E})[Z(h_n)] + o_p(n^{-1/2})$가 성립함을 확인하여 추론이 가능함을 입증하였다.