[논문 리뷰] Estimation and Simulation of a COGARCH(p,q) model in the YUIMA project

Stefano M. Iacus, Lorenzo Mercuri외 1명|Archivio Istituzionale della Ricerca (Universita Degli Studi Di Milano)|2015. 05. 14.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 26인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 R yuima 패키지에서 COGARCH(p,q) 모델의 시뮬레이션 및 추정을 위한 종합적인 프레임워크를 제시한다. 이는 오일러 이산화와 명시적 CARMA 기반 분산 해법을 활용한다. 세 가지 추정 방법—MSE, MAE, 그리고 적응 가중치를 적용한 GMM—을 도입하여 레비 노이즈 증분과 레비 측도 파라미터의 복원 및 추정이 가능하게 하였으며, 복합 포아송 및 분산 감마 과정에 의해 구동되는 COGARCH(1,1) 및 COGARCH(2,1) 모델에 대한 수치적 검증을 수행하였다.

ABSTRACT

In this paper we show how to simulate and estimate a COGARCH(p,q) model in the R package yuima. Several routines for simulation and estimation are available. Indeed for the generation of a COGARCH(p,q) trajectory, the user can choose between two alternative schemes. The first is based on the Euler discretization of the stochastic differential equations that identifies a COGARCH(p,q) model while the second one considers the explicit solution of the variance process. Estimation is based on the matching of the empirical with the theoretical autocorrelation function. In this case three different approaches are implemented: minimization of the mean square error, minimization of the absolute mean error and the generalized method of moments where the weighting matrix is continuously updated. Numerical examples are given in order to explain methods and classes used in the yuima package.

연구 동기 및 목표

• R yuima 패키지에서 고차수 COGARCH(p,q) 모델의 시뮬레이션 및 추정 도구를 구현하기 위해.
• COGARCH 모델에서 기저 노이즈 증분의 복원과 레비 측도 파라미터의 추정을 가능하게 하기 위해.
• 일반 레비 과정에 의해 구동되는 COGARCH 과정의 시뮬레이션 및 추정을 위한 통합 계산 환경을 제공하기 위해.
• 복합 포아송 및 분산 감마 노이즈에 의해 구동되는 COGARCH(1,1) 및 COGARCH(2,1) 모델을 대상으로 방법의 검증을 수행하기 위해.
• 표준 COGARCH(1,1) 사례를 초월하여 기존 R 기능을 COGARCH 모델에 확장하기 위해.

제안 방법

• 두 가지 시나리오를 통한 시뮬레이션: SDE 시스템의 오일러 이산화와 CARMA(q,p-1) 분산 과정의 명시적 해법.
• 세 가지 방법을 통한 추정: 경험적 및 이론적 자기상관 함수의 매칭을 통한 추정—MSE 최소화, MAE 최소화, 그리고 계속 업데이트된 가중치 행렬을 사용한 이단계 GMM.
• COGARCH(p,q)에 대한 yuima 패키지의 객체 지향 클래스를 활용한 모델 명시, 레비 과정의 강도 및 점프 크기 분포를 통한 파라미터화.
• 추정된 모델 파라미터와 시뮬레이션된 데이터를 기반으로 잠재 레비 노이즈 증분의 복원.
• 추정된 증분 과정에서 COGARCH 궤적을 생성하기 위해 `simulate` 함수의 사용.
• 추정 효율성을 향상시키기 위해 적응 가중치를 적용한 일반화된 모멘트 방법(GMM)의 구현.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 R yuima 패키지를 사용하여 일반 레비 과정에 의해 구동되는 COGARCH(p,q) 모델을 연속 시간에서 효율적으로 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ2 COGARCH(p,q) 모델에 대해 MSE, MAE, GMM 등의 다양한 추정 방법 간의 비교 성능 특성은 어떠한가?
• RQ3 yuima 패키지는 COGARCH 모델의 기저 레비 과정의 증분을 복원할 수 있는가?
• RQ4 COGARCH(p,q) 모델에서 레비 측도 파라미터(예: 강도, 점프 크기 분포)는 얼마나 잘 추정될 수 있는가?
• RQ5 복합 포아송 및 분산 감마 노이즈에 의해 구동되는 COGARCH(1,1) 및 COGARCH(2,1) 모델에 대해 추정 프레임워크의 실증 성능은 어떠한가?

주요 결과

• yuima 패키지는 복합 포아송 및 분산 감마 과정을 포함한 일반 레비 과정을 지원하는 COGARCH(p,q) 모델의 시뮬레이션 및 추정을 성공적으로 구현하였다.
• 복합 포아송 과정에 의해 구동되는 COGARCH(1,1) 모델에서 추정된 파라미터는 a0 = 1.032, a1 = 0.034, λ = 1.074였으며, 로그우도는 -3.491이었다.
• 분산 감마 과정에 의해 구동되는 COGARCH(1,1) 모델에서 추정된 파라미터는 b1 = 0.051, a1 = 0.029, a0 = 1.249, λ = 1.049, α = 1.466였으며, 로그우도는 -3.755였다.
• 복합 포아송 과정에 의해 구동되는 COGARCH(2,1) 모델에서 추정된 파라미터는 b2 = 0.057, b1 = 0.952, a1 = 0.028, a0 = 0.296였으며, 로그우도는 -3.324였다.
• 추정된 증분 과정은 성공적으로 COGARCH 궤적을 재구성하였으며, 시뮬레이션 및 추정 파이프라인의 타당성을 확인하였다.
• 적응 가중치와 증분 복원을 통합한 GMM 기반 추정은 COGARCH(p,q) 모델에서 추론을 위한 강력한 프레임워크를 제공한다.