[논문 리뷰] Estimation in discretely observed Markov processes killed at a threshold

Enrico Bibbona, Susanne Ditlevsen|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 05.

stochastic dynamics and bifurcation참고 문헌 35인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 임계값에 도달할 때 멈추는 이산적으로 관측된 마코프 과정에 대한 가능도 기반 추론을 개발하며, 기존 방법에서 발생하는 심각한 편향을 다룹니다. 정확한 가능도 계산과 매개변수 부트스트랩을 제안하여 편향을 수정하고, 평균 첫번째 통과 시간이 유한할 경우 다중 궤적에서 일致성과 점근 정규성을 보여줍니다.

ABSTRACT

Parameter estimation in diffusion processes from discrete observations up to a first-hitting time is clearly of practical relevance, but does not seem to have been studied so far. In neuroscience, many models for the membrane potential evolution involve the presence of an upper threshold. Data are modeled as discretely observed diffusions which are killed when the threshold is reached. Statistical inference is often based on the misspecified likelihood ignoring the presence of the threshold causing severe bias, e.g. the bias incurred in the drift parameters of the Ornstein-Uhlenbeck model for biological relevant parameters can be up to 25-100%. We calculate or approximate the likelihood function of the killed process. When estimating from a single trajectory, considerable bias may still be present, and the distribution of the estimates can be heavily skewed and with a huge variance. Parametric bootstrap is effective in correcting the bias. Standard asymptotic results do not apply, but consistency and asymptotic normality may be recovered when multiple trajectories are observed, if the mean first-passage time through the threshold is finite. Numerical examples illustrate the results and an experimental data set of intracellular recordings of the membrane potential of a motoneuron is analyzed.

연구 동기 및 목표

• 이산적으로 관측된 확산 과정이 임계값에서 멈추는 경우의 매개변수 추정을 위한 통계적 방법의 부족을 다룹니다.
• 기존 가능도 기반 추론에서 살리기 메커니즘을 忽시할 경우 발생하는 심각한 편향을 식별하고 정량화합니다.
• 정확한 통계적 추론을 가능하게 하기 위해 멈추는 과정을 위한 가능도 함수를 개발합니다.
• 단일 궤적 추정에서 편향을 보정하는 데 있어 매개변수 부트스트랩의 성능을 평가합니다.
• 다중 궤적이 관측될 경우 일致성과 점근 정규성이 성립하는 조건을 설정합니다.

제안 방법

• 임계값을 처음 통과할 때 멈추는 마코프 과정의 정확한 가능도 함수를 유도합니다.
• 흡수된 과정의 전이 밀도를 사용하여 이산 관측에서 가능도를 계산합니다.
• 단일 궤적에서의 매개변수 추정치의 편향을 보정하기 위해 매개변수 부트스트랩을 적용합니다.
• 첫 번째 통과 시간과 종료 상태의 결합 분포를 활용하여 살리기 조건 하에서 가능도를 모델링합니다.
• 유한한 평균 첫 번째 통과 시간을 가정할 때 다중 i.i.d. 궤적 하에서 점근적 성질을 확립합니다.
• 정확한 계산이 불가능할 경우, 불가항력 가능도에 대해 수치적 근사 방법을 사용합니다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 흡수 경계가 있는 확산 과정에서 살리기 메커니즘을 忽시할 경우 매개변수 추정에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 이산적으로 관측된 살려진 확산 과정에 대한 정확한 가능도 함수의 형태는 무엇인가?
• RQ3 매개변수 부트스트랩은 단일 궤적에서의 매개변수 추정치의 편향을 효과적으로 줄일 수 있는가?
• RQ4 살려진 과정에 대해 표준 점근 결과(일치성과 점근 정규성)가 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 실제로 제안된 방법의 유한 표본 성질은 잘못 지정된 가능도 접근법과 비교하여 어떻게 되는가?

주요 결과

• 기존 가능도 기반 추론에서 임계값을 忽시할 경우 오르누이즈-울렌벡 모델의 드리프트 매개변수에 대해 최대 25–100%의 편향이 발생합니다.
• 살려진 과정에 대한 정확한 가능도 함수는 흡수된 과정의 전이 밀도를 사용하여 계산하거나 근사할 수 있습니다.
• 단일 궤적 추정에서 표준 방법이 실패할 경우, 매개변수 부트스트랩이 편향을 크게 줄입니다.
• 다수의 독립 궤적이 관측될 경우 평균 첫 번째 통과 시간이 유한할 경우 추정기의 일치성과 점근 정규성이 회복됩니다.
• 수치적 예제와 세포 내 운동성 모터 뉴런 데이터 분석을 통해 제안된 방법이 잘못 지정된 가능도 접근법보다 뛰어남을 확인합니다.
• 단일 궤적에 기반한 살려진 과정 모델 하에서 매개변수 추정치의 분포는 심하게 비대칭이며 높은 분산을 보입니다.