[논문 리뷰] Estimation in semi-parametric regression with non-stationary regressors

Chen Jia, Jiti Gao외 1명|Adelaide Research & Scholarship (AR&S) (University of Adelaide)|2012. 05. 15.

Statistical Methods and Inference참고 문헌 29인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 비정상적 회귀변수를 가진 부분선형 모형에 대해 비모수적 성분이 영재귀 마코프 과정에 의해 결정되는 반정형 최소제곱(SLS) 추정 방법을 제안한다. 모수적 추정량의 점근적 정규성을 표준 $ \sqrt{n} $ 속도에서 확립하고, 비모수적 추정량의 점근적 분포를 도출하여 반정형 회귀 이론을 비정상적 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider a partially linear model of the form $Y_t=X_t^τθ_0+g(V_t)+ε_t$, $t=1,...,n$, where $\{V_t\}$ is a $β$ null recurrent Markov chain, $\{X_t\}$ is a sequence of either strictly stationary or non-stationary regressors and $\{ε_t\}$ is a stationary sequence. We propose to estimate both $θ_0$ and $g(\cdot)$ by a semi-parametric least-squares (SLS) estimation method. Under certain conditions, we then show that the proposed SLS estimator of $θ_0$ is still asymptotically normal with the same rate as for the case of stationary time series. In addition, we also establish an asymptotic distribution for the nonparametric estimator of the function $g(\cdot)$. Some numerical examples are provided to show that our theory and estimation method work well in practice.

연구 동기 및 목표

• 비정상적 회귀변수를 가진 모형에 대한 반정형 회귀 이론의 격차를 해소하기 위해, 비모수적 성분이 영재귀 마코프 과정에서 유래할 경우를 특히 다루는 것.
• 비정상성 하에서도 점근적 효율성과 일致성을 유지하는 새로운 추정 방법을 개발하는 것.
• 이전에 엄격히 정상적 과정에 국한되어 있던 점근적 이론을 비정상적 및 영재귀 시간열로 확장하는 것.
• 비정상적 성분이 존재하는 상황에서 모수적 및 비모수적 추정량의 점근적 분포를 확립하는 것.
• 경제 및 금융 시간열에서 비정상적 특성을 보이는 상황에서 반정형 방법을 사용하는 데 이론적 근거를 제공하는 것.

제안 방법

• 모수적 성분 $ \theta_0 $ 에 대한 반정형 최소제곱(SLS) 추정량과 비모수적 함수 $ g(\cdot) $ 에 대한 커널 기반 추정량을 제안한다.
• 대역폭 $ h $ 와 커널 $ K $ 및 $ V_t $ 의 밀도에서 유도된 가중함수 $ w_{nt}(v) $ 를 사용한 커널 가중 평균을 적용한다.
• 비정상적 마코프 과정 $ \{V_t\} $ 를 다루기 위해 변환을 적용한다. 이 과정은 유계 지지와 표준 혼합 성질을 갖지 않는다.
• 오차 과정 $ \{\epsilon_t\} $ 에 정규성 조건을 부과하여 정상성, $ \alpha $-혼합 또는 이방성 가능성을 허용한다.
• 점근적 분포를 유도하기 위해 일련의 확률적 전개와 마팅게일 유형의 추론을 통해 편향과 분산 항을 분석한다.
• 비정상성 하에서도 점근적 제어를 가능하게 하기 위해 이웃 영역 $ N(n) $ 내 관측 수를 $ n^{\beta - \eta} $ 로 대체하는 새로운 기술적 접근을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정상적 회귀변수와 영재귀 마코프 과정에 의해 결정되는 비모수적 성분을 가진 상황에서 반정형 최소제곱 추정이 모수적 성분에 대해 점근적 정규성을 유지할 수 있는가?
• RQ2 비정상적 및 영재귀 설계 하에서 비모수적 추정량 $ \widehat{g}_n(v) $ 의 점근적 분포는 어떠한가?
• RQ3 제안된 SLS 방법은 반정형 회귀에서 표준 혼합성과 정상성 가정의 붕괴를 어떻게 다루는가?
• RQ4 고전적 반정형 이론을 비.i.i.d. 및 비정상적 시간열로 확장하기 위해 어떤 기술적 수정이 필요한가?
• RQ5 비정상성 하에서도 $ \widehat{\theta}_n $ 에 대해 $ \sqrt{n} $ 수렴 속도를 유지하는가?

주요 결과

• 비정상적 $ \{X_t\} $ 과 영재귀 마코프 과정 $ \{V_t\} $ 이 존재하는 상황에서도 $ \theta_0 $ 의 SLS 추정량은 표준 $ \sqrt{n} $ 속도로 점근적 정규성을 보인다.
• 비모수적 추정량 $ \widehat{g}_n(v) $ 는 점근적 정규성을 보이며, 영재귀 가정 하에서 그 점근적 분포가 도출된다.
• 비모수적 추정의 편향 항은 $ \sqrt{\sum_t K((V_t - v)/h)} $ 로 스케일링되었을 때 $ o_P(1) $ 이 되며, 이는 일致성을 보장한다.
• 오차항 $ \epsilon_t $ 가 $ \alpha $-혼합성과 정상성을 만족할 경우 비모수적 추정량의 점근적 분산은 $ \sigma^2 \int K^2(u) du $ 로 수렴한다.
• 비정상적 회귀변수 존재하에서도 모수적 추정량 $ \widehat{\theta}_n $ 이 정상적 경우와 동일한 점근적 효율성을 달성한다.
• 이론적 결과는 제안된 방법의 유한표본 성능이 양호함을 보여주는 수치 예제를 통해 뒷받침된다.