[논문 리뷰] Estimation of conditional extreme risk measures from heavy-tailed elliptical random vectors

Antoine Usseglio‐Carleve|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 29.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 52인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 중미분포를 가진 타원형 랜덤 벡터로부터 극단적인 조건부 위험 측도—예를 들어 $L_p$-분위수 및 Haezendonck-Goovaerts 위험 측도—를 추정하기 위한 새로운 방법론을 제안한다. 정규적으로 변화하는 조건 하에서 두 개의 극단적 파라미터와 渐近 이론을 활용하여, 극단적인 조건부 분위수에 대한 일致성 있고 渐近 정규성을 갖는 추정량을 도출하며, 이는 극단적 꼬리 행동에 대한 회귀 기반 접근법의 한계를 해결한다.

ABSTRACT

In this work, we focus on some conditional extreme risk measures estimation for elliptical random vectors. In a previous paper, we proposed a methodology to approximate extreme quantiles, based on two extremal parameters. We thus propose some estimators for these parameters, and study their asymptotic properties in the case of heavy-tailed distributions. Thereafter, from these parameters, we construct extreme conditional quantiles estimators, and give their consistency properties. Using recent results on the asymptotic relationship between quantiles and other risk measures, we deduce estimators for extreme conditional Lp-quantiles and Haezendonck-Goovaerts risk measures. In order to test the efficiency of our estimators, we propose a simulation study. A financial data example is also proposed.

연구 동기 및 목표

• 중미분포를 가진 타원형 분포에서 극단적인 조건부 분위수에 대한 일치성 있고 渐近 정규성을 갖는 추정량을 개발하기 위해.
• 극한 꼬리 설정에서 $L_p$-분위수와 Haezendonck-Goovaerts 위험 측도로 이러한 추정량을 확장하기 위해 渐近 비례성 결과를 사용하기 위해.
• 정규적으로 변화하는 조건 하에서 극단적 파라미터의 존재를 위한 충분한 조건을 설정하기 위해.
• 시뮬레이션 연구와 금융 데이터 예제를 통해 방법론의 타당성을 검증하기 위해.
• 특히 극단적 꼬리 행동에서 타원형 모델의 회귀 기반 접근법의 한계를 다루기 위해.

제안 방법

• 타원형 분포의 일관성 성질에 기반한 이중 파라미터 극단적 모델을 제안하여 극단적인 조건부 분위수를 근사하기 위해.
• 정규적으로 변화하는 꼬리 조건 하에서 극단적 파라미터 $\eta$ 및 $\ell$의 추정량을 도입하기 위해.
• 극단가 이론과 von Mises 조건을 활용하여 추정량의 渐近 정규성을 도출하기 위해.
• 중미분포 설정에서 $L_p$-분위수와 분위수 간의 渐近 비례성을 활용하여 $L_p$-분위수 추정량을 구성하기 위해.
• 기존의 분위수와의 渐近 관계를 활용하여 동일한 원리로 Haezendonck-Goovaerts 위험 측도 추정량을 적용하기 위해.
• 유한 표본 성능을 검증하기 위해 시뮬레이션 연구와 금융 데이터 예제를 활용하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 중미분포를 가진 타원형 랜덤 벡터에 대해 극단적 파라미터 $\eta$와 $\ell$가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 이 분포군에서 극단적인 조건부 분위수에 대한 일치성 있고 渐近 정규성을 갖는 추정량은 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 분위수 추정량에서 유도된 $L_p$-분위수 및 Haezendonck-Goovaerts 위험 측도 추정량의 渐近 행동은 어떠한가?
• RQ4 타원형 모델에서 꼬리 추정 정확도 측면에서 제안된 추정량은 회귀 기반 방법과 어떻게 비교되는가?
• RQ5 시뮬레이션 및 실제 금융 데이터 설정에서 기대할 수 있는 유한 표본 성능는 어떠한가?

주요 결과

• 정규적으로 변화하는 꼬리 조건 하에서 극단적 파라미터 $\eta$와 $\ell$의 존재가 확립되어, 渐近 근사의 타당성을 보장한다.
• 약간의 정규적으로 변화하는 조건 하에서 제안된 $\eta$ 및 $\ell$의 추정량은 일치성 있고 渐近 정규성을 갖는다.
• 이러한 파라미터에 기반한 극단적인 조건부 분위수 추정량은 동일한 조건 하에서 일치성 있고 渐近 정규성을 갖는다.
• 중미분포 설정에서 분위수 추정량의 渐近 비례성 덕분에 $L_p$-분위수 추정량은 동일한 渐近 성질을 습득한다.
• Haezendonck-Goovaerts 위험 측도 추정량 역시 동일한 이론적 기반에 기반하여 일치성 있고 渐近 정규성을 갖는다.
• 시뮬레이션 및 금융 데이터 결과는 제안된 추정량이 극단적 꼬리 추정에서 실용적 효과성과 강건성을 갖는다는 것을 확인한다.