[논문 리뷰] Estimation of Integrated Functionals of a Monotone Density

Rajarshi Mukherjee, Bodhisattva Sen|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 23.

Statistical Methods and Inference인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 $[0,\infty)$에서 단조 감소하는 밀도의 통합 함수수에 대한 튜닝 없는 플러그인 추정량의 渐近 분포를 그레나운더 추정량을 사용하여 수립한다. 최소한의 정규성 조건 하에서, 스무스성, 0에서의 양성, 컴act 지지대가 필요 없음에도 불구하고 $\pi$-일致성, 渐近 정규성, 반모수 효율성을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper we study estimation of integrated functionals of a monotone nonincreasing density $f$ on $[0,\infty)$. We find the exact asymptotic distribution of the natural (tuning parameter-free) plug-in estimator, based on the Grenander estimator. In particular, we show that the simple plug-in estimator is $\sqrt{n}$-consistent, asymptotically normal and is semiparametric efficient. Compared to the previous results on this topic (see e.g., Nickl (2008), Jankowski (2014), and Sohl (2015)) our results holds under minimal assumptions on the underlying $f$ --- we do not require $f$ to be (i) smooth, (ii) bounded away from $0$, or (iii) compactly supported. Further, when $f$ is the uniform distribution on a compact interval we explicitly characterize the asymptotic distribution of the plug-in estimator --- which now converges at a non-standard rate --- thereby extending the results in Groeneboom and Pyke (1983) for the case of the quadratic functional.

연구 동기 및 목표

• 단조 감소하는 밀도의 $[0,\infty)$에서의 통합 함수수 추정을 연구한다.
• 그레나운더 추정량에 기반한 자연스러운 플러그인 추정량의 渐近 성질을 분석한다.
• 추정량이 $\pi$-일치성, 渐近 정규성, 반모수 효율성을 갖는 조건을 수립한다.
• 밀도의 스무스성, 0에서의 양성, 컴act 지지대에 대한 가정을 제거하여 이전 결과를 확장한다.
• 기저 밀도가 컴act 구간에서 균일일 경우 비표준 渐近 분포를 명시적으로 특성화한다.

제안 방법

• 플러그인 추정량은 단조 밀도의 비모수적 최대우도 추정량인 그레나운더 추정량에서 직접 구성된다.
• 추정량의 渐近 분포는 경험 과정 이론과 약한 수렴 추론을 사용하여 도출된다.
• 분석은 그레나운더 추정량의 수렴 구조, 특히 도메인의 경계와 내부에서의 행동을 활용한다.
• 추정량의 분산을 반모수 하한과 비교하여 반모수 효율성을 수립한다.
• 균일한 경우, 비표준 수렴 속도를 통해 渐近 분포를 특성화하며, 그로엔부움과 파이크(1983)의 결과를 확장한다.
• 최소한의 정규성 조건 하에서 결과를 도출하며, 스무스성, 0에서의 양성, 컴act 지지대에 대한 가정을 회피한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 통합 함수수에 대한 플러그인 추정량이 $\pi$-일치성인 최소한의 조건은 무엇인가?
• RQ2 기저 밀도가 컴act 구간에서 균일할 경우 플러그인 추정량의 渐近 분포는 무엇인가?
• RQ3 추정량의 효율성은 어떻게 평가되며, 반모수적으로 효율적인가?
• RQ4 밀도가 스무스하거나 0에서 양성이 아니어도 渐진 정규성과 효율성은 확립될 수 있는가?
• RQ5 균일한 경우의 수렴 속도는 일반적인 단조 밀도 설정과 어떻게 다를까?

주요 결과

• 그레나운더 추정량에 기반한 플러그인 추정량은 $[0,\infty)$에서 단조 감소하는 밀도의 통합 함수수에 대해 $\pi$-일치성이다.
• 최소한의 정규성 조건 하에서 스무스성이나 0에서의 양성 조건 없이도 추정량은 渐진 정규성을 갖는다.
• 추정량은 반모수 효율성을 달성하며, 임의의 정규 추정량의 분산 하한과 일치한다.
• 밀도의 컴act 지지대를 가정하지 않아도 결과가 성립하여 이전 연구에서 요구한 제약 조건을 초월한다.
• 기저 밀도가 컴act 구간에서 균일일 경우, 추정량은 비표준 수렴 속도를 보이며, 그 渐近 분포가 명시적으로 특성화된다.
• 닉엘(2008), 잔코프스키(2014), 솔(2015), 그리고 그로엔부움과 파이크(1983)의 이전 결과를 일반화하고 강화하며, 특히 정규성 조건을 완화한 점에서 기여한다.