[논문 리뷰] Estimation of low rank density matrices: bounds in Schatten norms and other distances

Dong Xia, Vladimir Koltchinskii|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 15.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 24인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 추적 회귀와 무작위 측정을 사용하여 낮은 질량을 가진 양자 밀도 행렬에 대한 최소 거리 추정기의 구조를 제안한다. 이 추정기는 슈바르츠 p-노름, 부레스-헬링턴 거리 및 양자 상대 엔트로피 거리에서 로그 인자들을 제외한 최소 최대 최적 속도를 달성함을 입증한다. 고유값을 단형상에 투영하는 방식으로 효율적인 계산이 가능하다.

ABSTRACT

Let ${\mathcal S}_m$ be the set of all $m imes m$ density matrices (Hermitian positively semi-definite matrices of unit trace). Consider a problem of estimation of an unknown density matrix $ρ\in {\mathcal S}_m$ based on outcomes of $n$ measurements of observables $X_1,\dots, X_n\in {\mathbb H}_m$ (${\mathbb H}_m$ being the space of $m imes m$ Hermitian matrices) for a quantum system identically prepared $n$ times in state $ρ.$ Outcomes $Y_1,\dots, Y_n$ of such measurements could be described by a trace regression model in which ${\mathbb E}_ρ(Y_j|X_j)={ m tr}(ρX_j), j=1,\dots, n.$ The design variables $X_1,\dots, X_n$ are often sampled at random from the uniform distribution in an orthonormal basis $\{E_1,\dots, E_{m^2}\}$ of ${\mathbb H}_m$ (such as Pauli basis). The goal is to estimate the unknown density matrix $ρ$ based on the data $(X_1,Y_1), \dots, (X_n,Y_n).$ Let $$ \hat Z:=\frac{m^2}{n}\sum_{j=1}^n Y_j X_j $$ and let $\check ρ$ be the projection of $\hat Z$ onto the convex set ${\mathcal S}_m$ of density matrices. It is shown that for estimator $\check ρ$ the minimax lower bounds in classes of low rank density matrices (established earlier) are attained up logarithmic factors for all Schatten $p$-norm distances, $p\in [1,\infty]$ and for Bures version of quantum Hellinger distance. Moreover, for a slightly modified version of estimator $\check ρ$ the same property holds also for quantum relative entropy (Kullback-Leibler) distance between density matrices.

연구 동기 및 목표

• 양자 상태 측정에서 노이즈가 있는 무작위 측정으로부터 낮은 질량의 양자 밀도 행렬을 추정하는 문제를 다루기.
• 다양한 양자 거리 측정에서의 추정 오차에 대한 기존 상한과 최소 최대 하한 사이의 격차를 메우기.
• 고차원 양자 시스템에서 계산적으로 효율적인 추정기의 이론적 보장을 제공하기.
• 힐베르트-슈미트(프로베니우스) 노름을 초월하여 슈바르츠 p-노름, 부레스-헬링턴 및 양자 상대 엔트로피 거리까지 최적성 결과를 확장하기.

제안 방법

• 양자 상태 측정 문제를 추적 회귀 모델로 공식화한다: $ Y_j = \langle \rho, X_j \rangle + \xi_j $, 여기서 $ X_j $ 는 무작위 헤르미트 관측량이고 $ Y_j $ 는 측정 결과이다.
• 최소 거리 추정기 $ \hat{Z} = \frac{m^2}{n} \sum_{j=1}^n Y_j X_j $ 를 구성한 후, 밀도 행렬 집합으로의 투영 $ \check{\rho} = \pi_{\mathcal{S}_m}(\hat{Z}) $ 을 수행한다.
• 행렬 $ \hat{Z} $ 의 고유분해를 수행하고, 그 고유값을 확률 단형상 $ \Delta_m $ 에 투영하여 $ \check{\rho} $ 를 계산함으로써 양의 정부호성과 단위 추적을 보장한다.
• 행렬 농도 부등식과 와일의 변형 정리를 활용하여 추정 오차의 연산자 및 슈바르츠 노름을 경계한다.
• 유니타리 불변성에 기반하여 행렬의 투영과 그 고유값의 단형상에 대한 투영 간의 등가성을 확립한다.
• 양자 상대 엔트로피를 위한 수정된 추정기를 분석하여, 로그 인자들을 제외한 최소 최대 최적성을 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계산적으로 단순한 추정기는 낮은 질량의 밀도 행렬 추정에서 슈바르츠 p-노름에 대해 최소 최대 최적 속도를 달성할 수 있는가?
• RQ2 낮은 질량의 밀도 행렬에 대한 최소 최대 하한이 슈바르츠 p-노름과 양자 발산에 대해 어느 정도 유지되는가?
• RQ3 최소 거리 추정기 $ \check{\rho} $ 는 부레스-헬링턴 거리 및 양자 상대 엔트로피 거리에서 로그 인자들을 제외한 최소 최대 속도를 달성하는가?
• RQ4 고차원 설정에서 최소 거리 추정기의 계산 복잡도는 매트릭스 랜스오 또는 SVT와 같은 반복적 방법과 비교해 어떻게 되는가?
• RQ5 고유값을 단형상에 투영하는 방식이 통계적 최적성을 유지하면서도 밀도 행렬 추정기를 효율적으로 계산하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 최소 거리 추정기 $ \check{\rho} = \pi_{\mathcal{S}_m}(\hat{Z}) $ 는 $ p \in [1, \infty] $ 에 대해 모든 슈바르츠 $ p $-노름에서 로그 인자들을 제외한 최소 최대 최적 속도를 달성한다.
• 이 추정기는 부레스 형태의 양자 헬링턴 거리에서 로그 인자들을 제외한 최소 최대 하한에 도달한다.
• 약간 수정된 $ \check{\rho} $ 의 형태는 또한 로그 인자들을 제외한 양자 상대 엔트로피(클로이브-라이블러) 거리에서 최소 최대 최적성을 달성한다.
• 최소 거리 추정기 $ \check{\rho} $ 의 계산 복잡도는 $ O((n + m)m^2) $ 이며, 고유분해와 단형상 투영이 지배적이므로 SVT와 같은 반복적 해법보다 훨씬 빠르다.
• 행렬 $ \hat{Z} $ 의 고유값을 단형상 $ \Delta_m $ 에 투영하는 것은 복잡도 $ O(m) $ 의 명시적 해를 통해 최적의 밀도 행렬 추정기를 얻는다.
• 이 추정기는 양자 측정 실험에서 흔히 사용되는 정규직교 기저(예: 파울리 기저)에서 샘플링된 무작위 설계 행렬에 대해 강건하다.