[논문 리뷰] Estimation of Lyapunov dimension for the Chen and Lu systems

Г. А. Леонов, Н. В. Кузнецов외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 18.

Chaos control and synchronization참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 리아프노프 차원에 대한 이전 추정치의 오류를 수정하며, 일반화된 로렌츠 시스템에 대한 레오노프의 분석적 방법을 사용하여 켄 및 루 시스템의 리아프노프 차원을 수정한다. 이는 고전적 매개변수들이 리아프노프 차원의 경계가 유효한 매개변수 영역 외부에 위치해 있음을 보여주며, 이는 수치적 증거가 혼돈을 보여주더라도 그들의 혼돈 급속기의 차원이 여전히 열린 문제로 남아 있음을 의미한다.

ABSTRACT

Nowadays various estimates of Lyapunov dimension of Lorenz-like systems attractors are actively developed. Within the frame of this study the question arises whether it is possible to obtain the corresponding estimates of dimension for the Chen and Lu systems using the reduction of them to the generalized Lorenz system. In the work (Chen and Yang, 2013) Leonov's method was applied for the estimation of Lyapunov dimension, and as a consequence the Lyapunov dimension of attractors of the Chen and Lu systems with the classical parameters was estimated. In the present work an inaccuracy in (Chen and Yang, 2013) is corrected and it is shown that the revised domain of parameters, where the estimate of Lyapunov dimension is valid, does not involve the classical parameters of the Chen and Lu systems.

연구 동기 및 목표

• 첸 및 루 시스템에 대한 이전 분석적 추정치의 정확성 오류를 수정하기 위해.
• 레오노프의 방법을 통해 리아프노프 차원 경계가 유효한 매개변수 영역을 규명하기 위해.
• 첸 및 루 시스템의 고전적 매개변수들이 이 유효한 영역 내에 포함되는지 평가하기 위해.
• 일반화된 로렌츠 시스템에 대해 $ d=0 $ 이고 매개변수 값이 음수인 경우에 분석적 방법의 적용 가능성을 조사하기 위해.

제안 방법

• 직접 리아프노프 방법에 기반한 레오노프의 분석적 방법을 적용하여 일반화된 로렌츠 시스템에서 불변 집합의 리아프노프 차원을 추정한다.
• 첸 및 루 시스템을 $ a=1 $ 인 일반화된 로렌츠 시스템 형태로 변환하여 리아프노프 차원의 불변성을 유지한다.
• $ \frac{1}{2}(S J S^{-1} + (S J S^{-1})^*) $ 행렬의 고유값 분석을 통해 차원 경계 조건을 유도한다.
• 정리 4를 적용하여 리아프노프 차원 경계가 성립하는 이차원 매개변수 영역을 유도하며, 고유값과 스칼라 함수 $ \vartheta $ 에 대한 조건을 사용한다.
• 특수한 부등식의 수정과 $ \gamma^{(II)} $ 의 근 찾기 방법을 통해 $ d=0 $ 과 음수 매개변수의 경우로 결과를 확장한다.
• 수치적 시뮬레이션을 통해 결과를 검증하고, 고전적 첸 및 루 시스템의 매개변수 점들이 유도된 영역 내에 있는지 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 첸 및 루 시스템에 대한 분석적 추정치의 리아프노프 차원이 그들의 고전적 매개변수에 대해 유효한가?
• RQ2 레오노프의 방법을 통해 리아프노프 차원 경계가 유효한 정확한 매개변수 영역은 무엇인가?
• RQ3 왜 수치적 시뮬레이션은 유도된 매개변수 영역 내에서 혼돈 급속기를 찾지 못하는가?
• RQ4 분석적 방법은 $ d=0 $ 과 음수 시스템 매개변수의 경우로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 첸 시스템의 고전적 매개변수 (35, 3, 28) 와 루 시스템의 고전적 매개변수 (36, 3, 20) 는 리아프노프 차원 경계가 유효한 매개변수 영역에 포함되어 있지 않다.
• 수정된 리아프노프 차원 추정 영역은 고전적 매개변수를 포함하지 않으며, 이는 [4] 에서의 이전 주장이 잘못되었음을 뒷받침한다.
• $ d=0 $ 인 경우, 특정 조건 하에서 새로운 분석적 경계 $ \dim_L K = 3 - \frac{2(a+b)}{a + \sqrt{a^2 + 4ac}} $ 가 도출된다.
• 매개변수 조합 $ a=1, b=0.8, c=9.2 $ 는 정리 5 의 조건을 만족하지만 정리 1 의 조건은 만족하지 않아 새로운 결과의 더 넓은 적용 가능성을 보여준다.
• 고전적 첸 및 루 시스템 매개변수를 사용한 수치적 시뮬레이션은 유도된 영역 내에서 혼돈 급속기를 생성하지 않으며, 분석적 결과를 지지한다.
• 고전적 로렌츠 급속기의 리아프노프 차원은 분석적으로 알려져 있지만, 첸 및 루 시스템의 경우 여전히 열린 문제로 남아 있다.