[논문 리뷰] Estimation of mean residual life

W. J. Hall, Jon A. Wellner|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 08.

Statistical Distribution Estimation and Applications인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 양(1978)의 평균 잔여 수명(MRL) 함수 비모수적 추정에 대한 작업을 확장하여, 전체 반선형 ℝ⁺에서 거의 확실한 균일 일致성과 가우시안 과정으로의 약한 수렴을 확립한다. 또한 한계 과정의 분산을 유도하고, 표준 브라운 운동으로의 변환을 통해 동시에 신뢰구간을 구성함으로써 전체 연령 범위에서의 비모수적 추론을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Yang (1978) considered an empirical estimate of the mean residual life function on a fixed finite interval. She proved it to be strongly uniformly consistent and (when appropriately standardized) weakly convergent to a Gaussian process. These results are extended to the whole half line, and the variance of the the limiting process is studied. Also, nonparametric simultaneous confidence bands for the mean residual life function are obtained by transforming the limiting process to Brownian motion.

연구 동기 및 목표

• 유한 구간에서의 양(1978)의 평균 잔여 수명(MRL) 추정 결과를 전체 반선형 ℝ⁺으로 확장한다.
• empirical MRL 추정량이 ℝ⁺에서 거의 확실한 균일 일치성과 한계 가우시안 과정으로의 약한 수렴을 보임을 확립한다.
• 한계 과정의 분산을 특성화하고, x → ∞일 때의 행동을 분석한다.
• 시간-공간 변환을 통해 표준 브라운 운동으로 변환함으로써 MRL 함수에 대한 비모수적 동시에 신뢰구간을 구성한다.
• 특히 오른쪽 꼬리 행동과 케이스러운 데이터 확장에 대해 생존 분석에서 MRL에 대한 추론을 위한 이론적 기반을 제공한다.

제안 방법

• Wellner(1977, 1978)와 Shorack(1972)의 거리 척도를 사용하여, 유한 구간에서의 일치성 및 약한 수렴 결과를 ℝ⁺로 확장한다.
• empirical MRL 추정량을 경험 생존함수 기반의 x를 초과하는 평균 초과 수명으로 정의한다.
• 한계 과정의 점근적 분산을 σ²(x)/F̄(x)로 유도하며, 여기서 σ²(x)는 잔여 분산이고 F̄(x)는 생존함수이다.
• 시간 척도 변환과 상태공간 재스케일링을 적용하여, 한계 과정을 [0,1]에서의 표준 브라운 운동으로 변환한다.
• 브라운 운동의 분포적 성질을 이용하여 e(x)에 대한 동시에 신뢰구간을 구성한다.
• 약한 수렴을 위한 충분조건을 제공하고, 한계 과정 분산의 꼬리 행동을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 구간이 아닌 전체 반선형 ℝ⁺에서 경험 MRL 추정량을 일관되게 추정할 수 있는가?
• RQ2 ℝ⁺에서 경험 MRL 추정량의 점근적 분포는 무엇이며, 그 한계 가우시안 과정의 분산은 무엇인가?
• RQ3 비모수적 가정 하에 MRL 함수에 대한 동시에 신뢰구간을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 x → ∞일 때 한계 과정 분산의 꼬리 성질은 무엇이며, 이는 극값 이론과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 한계 과정을 표준 브라운 운동으로 변환하여 실용적 추론를 가능하게 하기 위해 어떻게 해야 하는가?

주요 결과

• 정규 조건 하에서 경험 MRL 추정량은 ℝ⁺에서 거의 확실한 균일 일치성을 보이며, 양(1978)의 유한 구간 결과를 확장한다.
• 정규화된 MRL 추정량의 한계 과정은 각 x에서 평균이 0인 가우시안 과정이며, 분산은 σ²(x)/F̄(x)이다.
• 한계 과정의 분산은 x → ∞일 때 증가하며, 그 행동을 위한 충분조건가 유도되었으며, Balkema와 de Haan(1974)과 연결된다.
• 한계 과정을 [0,1]에서의 표준 브라운 운동으로 변환하는 변환이 존재하며, 이는 e(x)에 대한 동시에 신뢰구간의 구성이 가능하게 한다.
• 신뢰구간은 ℝ⁺ 전체에 걸쳐 균일하게 유효하며, 브라운 운동과의 분포 동치성에 기반하여 구성된다.
• 메소드는 Bjerkedal의 쥐 생존 데이터에 적용되어 생존 분석에서의 실용적 적용 가능성을 보여준다.