[논문 리뷰] Estimation of reliability and accuracy of models of $φ$-sub-Gaussian process using generating functions of polynomial expansions

Oleksandr Mokliachuk|arXiv (Cornell University)|2026. 02. 04.

Probabilistic and Robust Engineering Design인용 수 0

한 줄 요약

𝜙-sub-Gaussian 프로세스에 대한 신뢰도 및 정확도 추정치를 닫힌 형식의 생성 함수가 없는 경우에도 Legendre, 일반화 Laguerre, Gegenbauer 다항식 기저를 포함한 직교 다항식 시스템에 대해 확장한다.

ABSTRACT

Stochastic processes are often represented through orthonormal series expansions, a framework originating in the classical works of Loève and Karhunen and widely used for simulation and numerical approximation. While truncation error in such expansions has been extensively studied, practical models frequently involve an additional source of error arising from the approximation of coefficient functions when closed-form expressions are unavailable. The combined effect of these two errors remains insufficiently addressed in the literature. Building on the author's earlier work on reliability and accuracy estimates for $φ$-sub-Gaussian processes, this paper extends the methodology to orthonormal polynomial systems that do not possess normalized generating functions in analytical form, including the Legendre, generalized Laguerre, and Gegenbauer families. New bounds are derived for models in $L_p(T)$ and $C([0,T])$ that simultaneously account for truncation and coefficient approximation. The resulting criteria provide practical guidance for selecting the number of series terms required to achieve prescribed levels of reliability and accuracy across a broader class of polynomial-based stochastic process models.

연구 동기 및 목표

• 계수 함수가 해석적으로 이용 가능하지 않을 때 직교 다항식 확장을 통한 확률 모델링의 실용적 타당성을 동기화한다.
• 절단 오차와 계수-근사 오차를 모두 고려하는 신뢰도 및 정확도 경계를 개발한다.
• 이전 𝜙-sub-Gaussian 프레임워크를 Legendre, 일반화 Laguerre, Gegenbauer 다항식 계열로 확장한다.
• 주어진 신뢰도와 정확도 요구를 충족시키기 위한 시리즈 항의 수 N 선택에 대한 실행 가능 기준을 제공한다.]
• method_ translated (note)
• method
• - Represent stochastic processes as expansions with approximated coefficients X_N(t)=∑_{k=0}^{N} ξ_k â_k(t) and define the modeling error Δ_N(t)=X(t)−X_N(t).
• - Use 𝜙-sub-Gaussian tails and the τ_𝜙 norm to bound the error dynamics via C_N=∫_0^T (τ_𝜙(Δ_N(t)))^p dμ(t).
• - Derive polynomial-specific upper bounds for τ_𝜙(ξ_k) for Legendre, generalized Laguerre, and Gegenbauer bases.
• - Obtain explicit C_N bounds in L_p([0,T]) and extend to C([0,T]) through additional regularity assumptions and generating-function considerations.
• - Express resulting error bounds in terms of the generating-function-like constructs or their surrogate bounds for each polynomial family.
• - Provide criteria to determine the required number of terms N to meet prescribed reliability and accuracy.

제안 방법

• 소멸 확장 X_N(t)=∑_{k=0}^{N} ξ_k â_k(t)로 표현하고 모델링 오차 Δ_N(t)=X(t)−X_N(t)을 정의한다.
• 𝜙-sub-Gaussian 꼬리와 τ_𝜙 노름을 사용하여 오차 역학을 C_N=∫_0^T (τ_𝜙(Δ_N(t)))^p dμ(t)로 상한을 구한다.
• Legendre, 일반화 Laguerre, Gegenbauer 기저에 대해 τ_𝜙(ξ_k)의 다항식별 상한을 도출한다.
• L_p([0,T])에서의 명시적 C_N 상한을 얻고 추가적인 정칙성 가정과 생성함수 고려를 통해 C([0,T])로 확장한다.
• 각 다항식 계열에 대해 생성함수 유사 구성 또는 대체 경계로 결과 오차 경계를 표현한다.
• 지정된 신뢰도와 정확도 달성을 위한 필요한 항 수 N을 결정하는 기준을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 𝜙-sub-Gaussian 프로세스 모델에 대한 신뢰도 및 정확도 경계를 구하고, 정규화된 해석적 생성 함수가 없는 직교 다항식 기저에 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 Legendre, 일반화 Laguerre, Gegenbauer 다항식 계열이 경계와 시리즈 항 선택에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 절단 오차와 계수-근사 오차를 하나의 프레임워크에서 어떻게 통합하여 반영할 수 있는가?
• RQ4 이들 다항식 기저에 대해 L_p([0,T]) 및 C([0,T]) 설정에서 C_N에 대한 구체적 상한은 무엇인가?
• RQ5 지정된 신뢰도와 정확도 수준을 만족하기 위해 N을 선택하는 실용적 기준은 무엇인가?

주요 결과

• 단일적으로 절단 오차와 계수-근사 오차를 동시에 고려하는 L_p([0,T]) 및 C([0,T]) 모델에 대한 새로운 경계가 확립된다.
• Legendre 다항식의 경우 생성함수 기반의 대체 물질을 사용하여 τ_𝜙(Δ_N(t))에 대한 상한을 도출하고 명시적 로그 항 표현을 수반하는 C_N 상한으로 이끈다.
• 일반화 Laguerre 다항식의 경우 C_N에 대한 상한이 감마 함수 및 불완전 감마 관련 식들을 포함한다.
• Gegenbauer 다항식의 경우 C_N에 대한 상한이 초거대초항 함수(hypergeometric) 및 정규화된 초거대초항 함수들을 포함한다.
• 세 다항식 계열에서 주어진 신뢰도와 정확도에 도달하기 위한 필요한 시리즈 항 수 N을 결정하는 실용적 기준을 가능하게 한다.
• 이 접근은 닫힌 형식의 생성 함수를 갖지 않는 다항식 계열도 수용함으로써 Hermite 및 Chebyshev 시스템 너머의 적용 가능성을 넓힌다.