[논문 리뷰] Estimation of the Distribution of Random Parameters in Discrete Time Abstract Parabolic Systems with Unbounded Input and Output: Approximation and Convergence

Melike Sirlanci, Susan E. Luczak외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 13.

Markov Chains and Monte Carlo Methods참고 문헌 30인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 입력 및 출력 연산자가 유계가 아닌 무한차원 이산시간 추상 포물선 시스템에서 무작위 매개변수의 분포를 추정하기 위한 유한차원 근사 및 수렴 이론을 개발한다. 보체르 공간의 게르파인 트리플로 문제를 재구성하고 무작위 매개변수를 공간 변수로 간주함으로써, 저자들은 상태공간에 따라 변하는 트로터-카토 셈리그룹 근사법을 적용하여 수렴성을 증명하고, 확산 방정식 모델에서 지수족 밀도의 정확한 추정을 보여준다. 신뢰구간이 제공된다.

ABSTRACT

A finite dimensional abstract approximation and convergence theory is developed for estimation of the distribution of random parameters in infinite dimensional discrete time linear systems with dynamics described by regularly dissipative operators and involving, in general, unbounded input and output operators. By taking expectations, the system is re-cast as an equivalent abstract parabolic system in a Gelfand triple of Bochner spaces wherein the random parameters become new space-like variables. Estimating their distribution is now analogous to estimating a spatially varying coefficient in a standard deterministic parabolic system. The estimation problems are approximated by a sequence of finite dimensional problems. Convergence is established using a state space-varying version of the Trotter-Kato semigroup approximation theorem. Numerical results for a number of examples involving the estimation of exponential families of densities for random parameters in a diffusion equation with boundary input and output are presented and discussed.

연구 동기 및 목표

• 생리적 및 환경적 요인의 고도의 개인 간 및 에피소드 간 변동성으로 인해 전도성 알코올 생체감지기 데이터(TAC)를 혈중 알코올 농도(BrAC/BAC)로 변환하는 데 도전하는 문제를 다루기 위해.
• 결정론적 매개변수 추정의 한계를 극복하기 위해 매개변수를 분포가 알려지지 않은 무작위 변수로 모델링함으로써 신뢰구간을 통한 불확실성 정량화를 가능하게 하기 위해.
• 입력 및 출력 연산자가 유계가 아닌 추상 포물선 시스템에서 무작위 매개변수의 확률 분포를 추정하기 위한 유한차원 근사 프레임워크를 개발하고, 이에 대한 수렴 보장을 제공하기 위해.
• 개인 간 및 음주 에피소드 간 변동성을 포괄하는 인구 수준의 정방향 모델을 제공하여 개인 캘리브레이션에 의존하지 않고도 일반화 능력을 향상시키기 위해.

제안 방법

• 무작위 매개변수를 추가 공간 변수로 간주함으로써, 보체르 공간의 게르파인 트리플에서 정규화된 추상 포물선 시스템으로 확률적 시스템을 재구성한다.
• 매개변수화된 지수족 밀도(예: 잘라낸 이元정규분포)를 사용하여 무작위 매개변수의 분포를 표현하고, 최적화를 통해 매개변수를 추정한다.
• 매개변수 공간에서 조각상수 또는 스퍼링 기반 함수의 유한차원 부분공간을 사용하여 무한차원 추정 문제를 근사한다.
• 유한차원 근사가 진짜 해로 수렴함을 보장하기 위해 상태공간에 따라 변하는 트로터-카토 셈리그룹 근사 정리의 버전을 적용한다.
• 수치적 적분을 사용하여 상태 방정식과 수반 방정식을 설정하고, 기울기 기반 최적화에 필요한 편도함수를 계산한다.
• 최적화 과정에서 양의 정부호성을 보장하기 위해 공분산 행렬을 코レス키 분해를 통해 매개변수화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 입력 및 출력 연산자가 유계가 아닌 추상 포물선 시스템에서 무작위 매개변수의 진짜 분포로 수렴하는 유한차원 근사 체계를 개발할 수 있는가?
• RQ2 무작위 매개변수의 확률 분포 추정 문제를 결정론적 포물선 편미분방정식 프레임워크에서 공간 계수 추정 문제로 재구성할 수 있는가?
• RQ3 무한차원 설정에서 셈리그룹 이론을 사용하여 분포 추정 문제의 근사에 대해 어떤 수렴 보장을 확보할 수 있는가?
• RQ4 모의 데이터에서 알려진 분포(예: 이원정규분포)의 진짜 매개변수를 얼마나 정확히 복원할 수 있는가?
• RQ5 이 프레임워크를 사용하여 매개변수형 밀도 형태를 가정하지 않고도 확률측도를 직접 추정할 수 있는가?

주요 결과

• 이 방법은 무작위 매개변수의 이원정규분포 평균 및 공분산 매개변수를 성공적으로 추정하였으며, 기저 함수의 수가 증가함에 따라 수렴이 관찰되었다.
• n=16, m₁=m₂=8인 경우, 추정된 평균은 [11.67, 9.86]으로 진짜 값 [12, 10]에 가까웠고, 추정된 공분산 행렬은 [9.29, 3.03; 3.03, 5.21]로 진짜 값 [9, 3; 3, 5]에 근접하였다.
• 모델에서 추정된 결합 밀도는 그림 6.2(좌측 패널)에서 볼 수 있듯이 진짜 이원정규분포 밀도와 매우 유사하게 나타나, 분포 회복의 정확성을 확인하였다.
• 디컨볼루션된 입력 신호로부터 유도된 75% 신뢰구간은 신뢰성 있는 불확실성 추정을 제공하였으며, 이는 방법의 불확실성 정량화 활용 가능성을 입증하였다.
• 매개변수 공간 이산화에서 조각상수 요소 대신 선형 스퍼링을 사용할 경우 수렴 속도를 향상시킬 수 있다.
• 이 프레임워크는 개인 특화 캘리브레이션에 의존하지 않고도 인구 수준의 모델을 직접 추정하고 불확실성 정량화를 가능하게 하여, TAC를 BrAC/BAC로의 강력한 디컨볼루션로 이르는 길을 열어준다.