[논문 리뷰] Estimation of volatility functionals in the simultaneous presence of microstructure noise and jumps

Mark Podolskij, Mathias Vetter|arXiv (Cornell University)|2009. 09. 04.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 미세구조 소음과 유한 활동도 점프를 동반한 확산 과정에서 통합 변동성과 통합 4차 변동성에 대한 새로운 추정기인 조절된 이차변동량(MBV)을 제안한다. 조절된 표본 추출 방식을 적용하고 이차변동량 원리를 활용함으로써 MBV는 n−1/4 수렴 속도를 확보하며 점프에 대해 강건하여, 미약한 정규성 조건 하에서 일致하고 효율적이며 구현 가능한 추정을 제공한다.

ABSTRACT

We propose a new concept of modulated bipower variation for diffusion models with microstructure noise. We show that this method provides simple estimates for such important quantities as integrated volatility or integrated quarticity. Under mild conditions the consistency of modulated bipower variation is proven. Under further assumptions we prove stable convergence of our estimates with the optimal rate $n^{-{1}/{4}}$. Moreover, we construct estimates which are robust to finite activity jumps.

연구 동기 및 목표

• 고빈도 금융 데이터에서 미세구조 소음 하에서 실현 변동성의 부일致성 문제를 해결한다.
• 소음과 점프 하에서 다수의 변동성 기능(예: 통합 변동성, 통합 4차 변동성)을 위한 통합된 추정기 개발.
• 유한 활동도 점프에 대해 강건성을 유지하면서도 최적의 수렴 속도 n−1/4 를 달성한다.
• 기존의 소음에 강건한 추정기들을 실현 변동성 초월하여 일반화한 실용적이고 실행 가능한 방법을 제공한다.

제안 방법

• 미세구조 소음을 다룰 수 있도록 실현 이차변동량의 일반화로 조절된 이차변동량(MBV)을 제안하며, 조절 함수를 통합한다.
• MBV를 절대 증분의 거듭제곱 r 과 l 에 대한 가중합으로 정의한다: MBV(Y,r,l)n = n(r+l)/2−1 ∑|Δn_i X|r |Δn_i+1 X|l.
• 소음 하에서 수렴을 보장하기 위해 크기 M 의 블록으로 하위표본을 추출하여 추정을 안정화한다.
• 중심극한정리 기법을 적용하여 최적의 n−1/4 속도로 점근 정규성을 도출한다.
• r ∨ l < 2 를 선택함으로써 점프에 강건한 추정기를 구성하여, 유한 활동도 점프에 민감하지 않게 한다.
• 증명 프레임워크에서 마틴갈 및 세미마르팅게일 이론, 안정 수렴 및 버크홀더 유형 부등식을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소음과 점프가 동시에 존재하는 상황에서 단일 추정기가 통합 변동성과 통합 4차 변동성 등 여러 변동성 기능을 일관되게 추정할 수 있는가?
• RQ2 소음과 점프가 모두 존재할 때 통합 변동성과 통합 4차 변동성의 추정기의 최적 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ3 미세구조 소음이 도입되었을 때 이차변동량의 점프에 대한 강건성이 어떻게 유지될 수 있는가?
• RQ4 이론적으로 최적이고 실용적으로 실행 가능한 방식으로 추정기를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 조절된 이차변동량(MBV)은 미약한 정규성 조건 하에서 통합 변동성과 통합 4차 변동성에 대해 최적의 속도 n−1/4 로 안정 수렴을 달성한다.
• 이 방법은 i.i.d. 미세구조 소음 하에서 임의의 통합 변동성 거듭제곱에 대해 일관된 추정기를 제공한다.
• r ∨ l < 2 일 경우 MBV는 유한 활동도 점프에 대해 강건하여, 점프-확산 모델에서도 일관성을 유지한다.
• 비퇴도 점근 분산을 갖는 MBV에 대한 중심극한정리가 확립되어 추론 및 신뢰구간 설정이 가능하다.
• 이론적 결과는 유한 표본 성능과 강건성을 입증하는 몬테카를로 시뮬레이션을 통해 지지된다.
• 증명 프레임워크는 블록 기반 하위표본 추출과 마틴갈 기법을 통해 기존의 이차변동량 이론을 소음과 점프 강건성 측면에서 확장한다.