[논문 리뷰] ETH-Hardness of Approximating 2-CSPs and Directed Steiner Network

Irit Dinur, Pasin Manurangsi|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 10.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 31인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 2-CSP를 $k^{1-o(1)}$ 요인 내에서 근사화하는 데 있어서 ETH-난이도를 확립한다. 여기서 $k$는 변수의 수이며, 이를 위해 하드한 2-CSP 인스턴스를 방향성 스티너 네트워크(DSN) 인스턴스로 감소시킨다. ETH 하에, 다항시간 알고리즘이 거의 선형 근사보다 나은 결과를 달성할 수 없으며, 이는 자명한 $O(k)$-근사와 거의 일치한다. 또한 이 결과는 Gap-ETH 하에 FPT 알고리즘으로도 확장된다.

ABSTRACT

We study the 2-ary constraint satisfaction problems (2-CSPs), which can be stated as follows: given a constraint graph $G=(V,E)$, an alphabet set $Σ$ and, for each $\{u, v\}\in E$, a constraint $C_{uv} \subseteq Σ imesΣ$, the goal is to find an assignment $σ: V o Σ$ that satisfies as many constraints as possible, where a constraint $C_{uv}$ is satisfied if $(σ(u),σ(v))\in C_{uv}$. While the approximability of 2-CSPs is quite well understood when $|Σ|$ is constant, many problems are still open when $|Σ|$ becomes super constant. One such problem is whether it is hard to approximate 2-CSPs to within a polynomial factor of $|Σ| |V|$. Bellare et al. (1993) suggested that the answer to this question might be positive. Alas, despite efforts to resolve this conjecture, it remains open to this day. In this work, we separate $|V|$ and $|Σ|$ and ask a related but weaker question: is it hard to approximate 2-CSPs to within a polynomial factor of $|V|$ (while $|Σ|$ may be super-polynomial in $|V|$)? Assuming the exponential time hypothesis (ETH), we answer this question positively by showing that no polynomial time algorithm can approximate 2-CSPs to within a factor of $|V|^{1 - o(1)}$. Note that our ratio is almost linear, which is almost optimal as a trivial algorithm gives a $|V|$-approximation for 2-CSPs. Thanks to a known reduction, our result implies an ETH-hardness of approximating Directed Steiner Network with ratio $k^{1/4 - o(1)}$ where $k$ is the number of demand pairs. The ratio is roughly the square root of the best known ratio achieved by polynomial time algorithms (Chekuri et al., 2011; Feldman et al., 2012). Additionally, under Gap-ETH, our reduction for 2-CSPs not only rules out polynomial time algorithms, but also FPT algorithms parameterized by $|V|$. Similar statement applies for DSN parameterized by $k$.

연구 동기 및 목표

• 알파벳 크기 $n$이 변수 수 $k$에 대해 초다항적으로 증가할 때 2-CSP의 근사 불가능성을 해결하기 위해.
• NP-난이도를 넘는 더 강한 가정 하에 2-CSP를 $k$의 다항요인 내에서 근사하는 것이 어려운지 조사하기 위해.
• 2-CSP에서 DSN 문제로의 감소를 통해 DSN 문제에 대한 근사 불가능성 결과를 수립하기 위해.
• Gap-ETH 가정 하에 2-CSP 및 DSN에 대한 고정 매개변수 다항시간(FPT) 알고리즘을 배제할 가능성 탐색하기 위해.

제안 방법

• 완전성 및 타당성 성질을 유지하면서 하드한 2-CSP 인스턴스를 방향성 스티너 네트워크(DSN) 인스턴스로 감소시키기.
• 지수 시간 가설(ETH)을 사용하여, 모든 $\rho > 0$에 대해 다항시간 알고리즘이 $k^{1-1/( ext{log} k)^{1/2 - \rho}}$ 요인 내에서 2-CSP를 근사할 수 없음을 보여주기.
• ETH 하에 $k'$ 수요 쌍을 가진 DSN 인스턴스를 구성하여, 근사 비율이 $k'^{1/4 - o(1)}$임을 보장하기.
• Gap-ETH를 적용하여 결과를 강화하고, $k$를 매개변수로 하는 FPT 알고리즘(실행 시간 $t(k) \cdot (nk)^{O(1)}$)이 2-CSP 및 DSN에 대해 배제됨을 입증하기.
• 기존의 2-CSP에서 DSN으로의 감소를 활용하여 근사 불가능성 결과를 이전하기.
• 감소의 완전성 및 타당성을 분석하여, 경제성 가정 하에 근사 비율이 유지됨을 보장하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 알파벳 크기 $n$이 $k$에 대해 초다항적으로 증가하더라도, 변수 수 $k$에 대해 $k^{1-o(1)}$ 요인 내에서 2-CSP를 근사하는 것이 ETH-난이도인지 여쭤보기.
• RQ2 2-CSP에 대한 근사 불가능성 결과를 Gap-ETH와 같은 더 강력한 가정 하에 확장하여, $k$를 매개변수로 하는 FPT 알고리즘을 배제할 수 있는가?
• RQ3 2-CSP에서 DSN으로의 감소가 근사 불가능성 비율을 유지하는가? 이는 $k$ 수요 쌍에 대해 $k^{1/4-o(1)}$-난이도를 유도하는가?
• RQ4 감소 과정에서 알파벳 크기 $n$과 변수 수 $k$ 사이의 의존성을 현재의 $n = 2^{2^{(\log k)^d}}$에서 더 온화한 함수인 $n = k^{\text{polylog} k}$로 개선할 수 있는가?
• RQ5 비슷한 $k^{1-o(1)}$ 요인으로 Densest $k$-Subgraph와 같은 다른 문제에 대해 ETH-근사 난이도를 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 지수 시간 가설(ETH) 하에, 모든 $\rho > 0$에 대해 다항시간 알고리즘이 $k^{1-1/( ext{log} k)^{1/2 - \rho}}$ 요인 내에서 2-CSP를 근사할 수 없으며, 이는 $k$에 대해 거의 선형이다.
• 이 결과는 ETH를 가정할 경우, $k$ 수요 쌍에 대해 DSN 문제는 $k^{1/4 - o(1)}$ 요인 내에서 근사될 수 없다는 것을 의미한다.
• 더 강력한 Gap-ETH 가정 하에, 이 논문은 2-CSP 및 DSN에 대해 다항시간 알고리즘 뿐 아니라 $k$를 매개변수로 하는 고정 매개변수 다항시간(FPT) 알고리즘(실행 시간 $t(k) \cdot (nk)^{O(1)}$)도 배제한다.
• 감소의 완전성은 원래 2-CSP 인스턴스의 값이 1이면 DSN 인스턴스의 값도 1임을 보장한다.
• 감소의 타당성은 2-CSP 인스턴스의 값이 $2^{(\log k)^{1/2 + \rho}}/k$ 미만이면, DSN 인스턴스의 값이 $\sqrt{2k / 2^{(\log k)^{1/2 + \rho}}}$ 이상임을 보장하며, 이는 큰 $k$에 대해 $(k')^{1/4}/2^{(\log k')^{1/2 + \rho'}}$ 이상이 된다.
• 논문은 현재 감소 과정에서 알파벳 크기 $n$과 $k$ 사이의 의존성이 최적화되지 않았음을 보여주며, $n = 2^{2^{(\log k)^d}}$임을 밝히고, 이를 $n = k^{\text{polylog} k}$로 개선할 수 있는지 여부는 열린 질문으로 제기한다.