[논문 리뷰] Euclid's theorem on the infinitude of primes: a historical survey of its proofs (300 B.C.--2022) and another new proof

Romeo Meštrović|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 16.

History and Theory of Mathematics참고 문헌 88인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 기원전 300년부터 2022년까지 유클리드의 소수의 무한성 정리에 대한 200개의 증명을 종합적으로 조사한 역사적 서베이를 제시한다. 이 중 2012–2017년 사이에 발표된 14개의 증명과 2018–2022년 사이에 발표된 18개의 증명을 포함한다. 또한 $ n^s $와 $ n-1 $의 대수적 변환을 기반으로 하는 새로운 초등 증명을 제안하며, 유클리드의 보조정리에 의존하지 않고 유한한 소수의 집합을 가정했을 때 직접 모순을 도출한다.

ABSTRACT

{\bf In the fourth extended version of this article, we provide a comprehensive historical survey of 200 different proofs of famous Euclid's theorem on the infinitude of prime numbers (300 {\small B.C.}--2022)}. The author is trying to collect almost all the known proofs on infinitude of primes, including some proofs that can be easily obtained as consequences of some known problems or divisibility properties. Furthermore, here are listed numerous elementary proofs of the infinitude of primes in different arithmetic progressions. All the references concerning the proofs of Euclid's theorem that use similar methods and ideas are exposed subsequently. Namely, presented proofs are divided into the first five subsections of Section 2 in dependence of the methods that are used in them. 14 proofs which are proved from 2012 to 2017 are given in Subsection 2.9, and 18 recent proofs from 2018 to 2022 are presented in Subsection 2.10. In Section 3, we mainly survey elementary proofs of the infinitude of primes in different arithmetic progressions. Presented proofs are special cases of Dirichlet's theorem. In Section 4, we give a new simple ''Euclidean's proof'' of the infinitude of primes.

연구 동기 및 목표

• 기원전 300년부터 2022년까지 알려진 거의 모든 유클리드의 소수의 무한성 정리에 대한 증명을 수집하고 체계화하는 것.
• 대수적 수론, 오일러의 곱공식, 위상적 접근과 같은 기초 수학적 방법에 기반한 증명의 상세 분류를 제공하는 것.
• 산술급수 내 소수의 무한성에 대한 초등 증명을 조사하며, 딜리클레의 정리의 특수한 경우를 포함한다.
• 유클리드의 보조정리를 피하고 $ n^s $와 $ n-1 $의 대수적 변환을 통해 직접 모순을 도출하는 새로운 단순한 증명을 제시하는 것.
• 증명 기법의 다양성과 진화를 강조하여, 동일한 정리를 여러 방식으로 증명함으로써 다양한 수학적 통찰과 일반화를 드러내는 것.

제안 방법

• 증명을 다섯 가지 주요 방법론 그룹으로 분류: 유클리드의 아이디어, 서로소 정수에 대한 골드바흐의 아이디어, 대수적 수론, 오일러의 발산 급수와 제타 함수를 이용한 접근, 조합론적 또는 위상적 방법.
• 대수적 항등식을 사용해 모순을 도출: $ n = p_1 p_2 \cdots p_k $일 때, $ \frac{n^s}{n-1} = \sum_{i=0}^{s-1} n^i + \frac{1}{n-1} $을 보이며, 이는 $ \frac{1}{n-1} $이 정수임을 의미하고, $ n-1 \geq 4 $라는 사실과 모순된다.
• 새로운 증명이 유클리드의 보조정리를 전혀 사용하지 않고, 유일한 소수 분해의 존재성만을 기반으로 한다는 것을 보여준다.
• 2012–2017년 사이의 14개의 증명과 2018–2022년 사이의 18개의 증명을 제시하며, 다항식의 근, 재귀 수열, 루카스 수열의 성질에 기반한 증명을 포함한다.
• 다항식의 인수분해, $ a^2 \equiv 1 \pmod{24} $의 활용, 이차 상호법칙 등을 사용한 산술급수 내 소수에 대한 초등 증명을 조사한다.
• 역사적 참고문헌과 수학 문헌을 활용하여 수세기 동안 증명 기법의 발전과 상호관계를 추적한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유클리드의 소수의 무한성 정리에 대한 200개의 증명은 주로 어떤 방법론적 범주로 분류될 수 있는가?
• RQ2 최근의 증명들(2018–2022)은 유클리드의 원본 증명이나 오일러의 발산 기반 추론과 어떻게 다를까 또는 이를 어떻게 확장하는가?
• RQ3 유클리드의 보조정리를 피하면서도 유클리드의 원본 구조의 단순함을 유지하는 새로운 초등 증명을 구성할 수 있는가?
• RQ4 산술급수 내 소수의 무한성에 대한 증명과 더 깊은 정리인 딜리클레의 정리 사이에는 어떤 연결 고리가 있는가?
• RQ5 다양한 증명 기법은 다른 수론적 진술로 어떻게 일반화되며, 새로운 구조적 통찰을 어떻게 드러내는가?

주요 결과

• 논문은 유클리드의 정리에 대한 200개의 고유한 증명을 기록하였으며, 이 중 44개는 특수한 산술급수 내 소수의 무한성에 관한 것이다.
• 새로운 증명은 소수의 수가 유한하다고 가정하고 $ n = p_1 p_2 \cdots p_k $로 놓은 후, $ \frac{n^s}{n-1} = \sum_{i=0}^{s-1} n^i + \frac{1}{n-1} $이 성립함을 보이며, 이는 $ \frac{1}{n-1} $이 양의 정수임을 의미하고, $ n-1 \geq 4 $라는 사실과 모순된다.
• 새로운 증명은 유클리드의 보조정리를 완전히 회피하며, 소수 분해의 존재성만을 기반으로 하므로 많은 고전적 변형보다 더 초등적이다.
• 조사를 통해 대수적 수론, 오일러의 곱공식, 푸르스텐베르크의 위상적 접근에 기반한 증명들이 모두 타당하며, 각각의 기초 가정과 일반화 가능성에서 상이함을 확인했다.
• 다항식의 근, 재귀 수열, 이차 상호법칙을 이용한 산술급수 내 소수에 대한 초등 증명들—예를 들어 $ 1 \pmod{3} $, $ 1 \pmod{8} $, $ 4 \pmod{15} $—이 유도 가능하다는 것이 입증되었다.
• 유클리드의 원본 증명이 기원전 300년대에 발표된 이래 2300년이 넘도록 여전히 본질적으로 새로움과 통찰력을 유지하고 있으며, 관련성이나 새로움을 상실하지 않았다.