[논문 리뷰] Euler and the pentagonal number theorem

Jordan Bell|ArXiv.org|2005. 10. 03.

History and Theory of Mathematics참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 레온하르 오일러의 오각수 정리에 관한 체계적인 역사적 및 수학적 분석을 제공하며, 그 유도 과정, 약수 함수 및 분할 함수에의 응용, 그리고 발산 급수와 $q$-급수와의 관계를 상세히 기술한다. 오일러의 원본 통찰은 그의 통신과 출판물들을 통해 맥락화되며, 이 정리는 $q$-급수 이론과 타우 함수 이론에서 기초적인 결과로, 특히 자코비 삼중곱 항등식의 특수한 경우로 나타난다.

ABSTRACT

``In this paper we give the history of Leonhard Euler's work on the pentagonal number theorem, and his applications of the pentagonal number theorem to the divisor function, partition function and divergent series. We have attempted to give an exhaustive review of all of Euler's correspondence and publications about the pentagonal number theorem and his applications of it.'' This paper gives an exhaustive summary of Euler's work on the pentagonal number theorem. I have gone through all of Euler's published correspondence (except with du Maupertuis and Frederic II) and his papers to find each time he discusses the pentagonal number theorem or applications of it. I have translated from the Latin many sections of his correspondence and papers that are not available in the English, and also sections in the French and German with Dr. Paul Mezo and Christian Leger.

연구 동기 및 목표

• 오일러의 오각수 정리에 관한 통신과 출판물에 대한 완전한 역사적 리뷰를 제공하는 것.
• 생성 함수를 사용하여 오일러가 약수 함수와 분할 함수에 이 정리를 어떻게 적용했는지 분석하는 것.
• 유한 차분을 통해 오각수와 관련된 발산 급수의 합을 부여하는 오일러의 접근 방식을 탐구하는 것.
• 오일러의 오각수 정리가 자코비 삼중곱 항등식의 특수한 경우임을 확립하고, $q$-급수 이론에서 그 중요성을 밝히는 것.
• 오일러의 미출간 분할 작업을 맥락화하고, 그가 해석적 수론과 특수 함수 분야에서 보여준 광범위한 기여를 기술하는 것.

제안 방법

• 오일러의 원본 서신과 출판물, 특히 베르누이, 골드바흐 등과의 통신을 분석하여 오각수 정리의 발전 과정을 추적하는 것.
• 대수적 변환과 무한곱 전개를 사용하여 형식적 항등식으로서 오각수 정리를 유도하는 것: $\prod_{m=1}^{\infty}(1 - x^m) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} (-1)^n x^{n(3n-1)/2}$.
• 자코비 삼중곱 항등식을 적용하여 오각수 정리를 도출함으로써, $\phi(x) = \prod_{m=1}^{\infty}(1 - x^m)$ 가 $|x| < 1$ 에서 절대 수렴함을 보이는 것.
• 유한 차분 표를 사용하여 발산 급수 $\sum (-1)^n p_n$ 에 대한 합을 할당함으로써, $s + t = 0$ 과 같은 결과를 도출하는 것.
• 근의 단위에 기반한 급수의 성분 분리 방법을 해석하여, 임의의 정수 $\lambda$ 에 대해 $\sum \pm A^\lambda \pm B^\lambda \pm \cdots = 0$ 과 같은 항등식을 이끌어내는 것.
• 오각수 정리를 타우 함수와 모듈라 형식과 연결함으로써, 특히 $q^2/3 = x$ 인 경우 $\vartheta_4(q/6; q) = (q; q)_\infty$ 라는 관계를 통해 연결하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 오일러는 원래 자신의 통신과 출판물을 통해 오각수 정리를 어떻게 유도하고 정당화했는가?
• RQ2 오각수 정리는 오일러의 분할 함수 및 약수 함수 연구에서 어떤 역할을 했는가?
• RQ3 오일러는 유한 차분과 단위근을 통해 오각수를 포함하는 발산 급수에 어떤 값을 할당했는가?
• RQ4 오일러의 오각수 정리는 자코비 삼중곱 항등식의 어떤 특수한 경우인가?
• RQ5 오일러의 분할에 관한 미출간 작업은 어떤 의미를 지녔으며, 후속 $q$-급수 이론의 발전을 어떻게 예견했는가?

주요 결과

• 오일러는 1740–1741년 다니엘 I 베르누이와의 통신을 통해 오각수 정리를 처음 접하였으며, 이는 $\prod (1 - n^{-m})$ 의 급수 전개를 언급했지만 패턴을 증명하지 못했다고 한다.
• 오일러의 1751년 논문 E158에서는 생성 함수 $\prod_{x=1}^{\infty} \frac{1}{1 - n^x} = \sum n^{(\infty)} n^x$ 를 소개하여 오각수 정리를 무제한 분할 함수와 연결지었다.
• 오각수 정리는 형식적으로 $\prod_{m=1}^{\infty}(1 - x^m) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} (-1)^n x^{n(3n-1)/2}$ 로 표현되며, 지수는 일반화된 오각수 수로 나타난다.
• 오일러는 유한 차분 표를 사용하여 발산 급수에 값을 할당하였으며, 한 급수에 대해서는 $s = \frac{3}{16}$, 다른 급수에 대해서는 $t = -\frac{3}{16}$ 를 얻어 $s + t = 0$ 이 되었으며, 이는 일관된 합산 방법을 보여준다.
• 오일러는 항등식을 $\lambda$ 가 임의의 정수일 때 $\sum \pm A^\lambda \pm B^\lambda \pm \cdots = 0$ 으로 일반화하였으며, 여기서 $A, B, \dots$ 는 모듈로 $n$ 에 대해 합동인 오각수 수이다.
• 오각수 정리는 자코비 삼중곱 항등식의 특수한 경우이며, 그 세제곱은 $\prod_{m=1}^{\infty}(1 - x^m)^3 = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (2n+1) x^{n(n+1)/2}$ 를 얻는다.