[논문 리뷰] Euler characteristic number of the energy band and the reason for its non-integer values

Yu-Quan Ma|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 14.

Topological Materials and Phenomena참고 문헌 1인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 위상적 에너지 밴드에서 비정수 오일러 특성수의 혼동을 해결하며, 이러한 값들이 위상 결함이나 표면 효과에서 기인하는 것이 아니라, 위상적으로 비비어 있는 단계에서 양자 거리계량 텐서의 군집성(특이성)에서 기인함을 보여준다. 이는 비위상적 비비어 있는 단계에서는 양자 거리계량이 정의되지 않으며, 오직 위상적으로 비비어 있지 않은 단계에서 비영인 베리 곡률이 존재할 때에만 양자 거리계량이 정의되며, 이는 오일러 수가 가우스-본네 정리에 의해 잘 정의되고 짝수 정수임을 보장한다.

ABSTRACT

The topological Euler characteristic number of the energy band proposed in our previous work (see Yu-Quan Ma et al., arXiv:1202.2397; EPL 103, 10008 (2013)) has been recently experimentally observed by X. Tan et al., Phys. Rev. Lett. extbf{122}, 210401 (2019), in which a topological phase transition in a time-reversal-symmetric system simulated by the superconducting circuits is witnessed by the Euler number of the occupied band instead of the vanishing Chern number. However, we note that there are some confusions about the non-integer behaviors of the Euler number in the topological trivial phase. In this paper, we show that the reason is straightforward because the quantum metric tensor $g_{μν} $ is actually positive semi-definite. In a general two-dimensional two-band system, we can proved that: (1) If the phase is topological trivial, then the quantum metric must be degenerate (singular)~--- $\det {g_{μν} }=0$ in some region of the first Brillouin zone. This leads to the invalidity of the Gauss-Bonnet formula and exhibits an ill-defined ``non-integer Euler number''; (2) If the phase is topological nontrivial with a non-vanishing Berry curvature, then the quantum metric will be a positive definite Riemann metric in the entire first Brillouin zone. Therefore the Euler number of the energy band will be guaranteed an even number $χ=2(1-g)$ by the Gauss-Bonnet theorem on the closed two-dimensional Bloch energy band manifold with the genus $g$, which provides an effective topological index for a class of nontrivial topological phases.

연구 동기 및 목표

• 위상적 전이 실험 측정에서 관측된 비정수 오일러 특성수의 혼동을 해결하기 위해.
• 두 밴드 시스템의 위상적으로 비비어 있는 단계에서 정의되지 않는 오일러 수의 물리적 기원을 명확히 하기 위해.
• 에너지 밴드의 오일러 수가 잘 정의되고 위상적으로 의미 있는 조건을 엄밀히 설정하기 위해.
• 모멘텀 공간에서의 $\vec{d}(\mathbf{k})/d(\mathbf{k})$ 표면의 위상적 구조와 실제 에너지 밴드 다양체 사이의 차이를 명확히 하기 위해.
• 양자 거리계량의 정의된 양의 정부정성(positive definiteness)이 두 밴드 시스템에서 잘 정의된 오일러 수를 위한 필수 및 충분 조건임을 보여주기 위해.

제안 방법

• U(1) 게이지 불변의 양자 기하 텐서의 실수부로 간주되는 양자 거리계량 텐서 $g_{\mu\nu}$를 분석하며, 그가 항상 준정부정임을 강조한다.
• 첫 번째 브릴루앙 영역 내 폐쇄된 두 차원 블로흐 밴드 다양체에 대해 가우스-본네 정리를 적용하여 오일러 특성수 $\chi = 2(1 - g)$를 유도한다.
• 위상적으로 비비어 있는 단계에서 베리 곡률이 0이 되는 영역에서 $\det g_{\mu\nu} = 0$임을 보이며, 이는 가우스-본네 공식이 적용될 수 없음을 시사한다.
• 할던 모델을 구체적인 예로 사용하여, 비비어 있는 단계($C_1 = \pm 1$)에서는 $\chi = 2$임을 보이고, 비비어 있는 단계($C_1 = 0$)에서는 정의되지 않으며 비정수임을 보인다.
• 매개변수 다양체 $\mathcal{M}_\mathbf{k}$ 상의 양자 거리계량과 $\mathcal{C}P^1 \cong S^2$ 상의 푸비니-슈트라트 메트릭을 대조하여, 각각의 역할이 다르다는 것을 명확히 한다.
• 에너지 밴드 다양체의 오일러 수와 $\vec{d}(\mathbf{k})/d(\mathbf{k})$ 표면의 오일러 수가 위상적으로 동치가 아니며, 특히 경계가 존재할 경우에 특히 다르다는 것을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 두 밴드 시스템의 위상적으로 비비어 있는 단계에서 비정수 오일러 특성수가 나타나는가?
• RQ2 비비어 있는 단계에서 정의되지 않는 오일러 수의 물리적 기원은 무엇이며, 이는 표면 기여와 관련이 있는가 아니면 거리계량의 특이성과 관련이 있는가?
• RQ3 양자 거리계량 $g_{\mu\nu}$의 양의 정부정성과 정의의 정확성은 에너지 밴드의 위상 분류와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 베르누르 수가 0일 때도 일관되게 비비어 있는 단계를 특징짓는 위상 불변량이 존재하는가?
• RQ5 $\vec{d}(\mathbf{k})/d(\mathbf{k})$ 표면의 정확한 위상적 해석은 에너지 밴드 다양체와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 위상적으로 비비어 있는 단계에서는, 베리 곡률이 0이 되는 영역에서 양자 거리계량 $g_{\mu\nu}$가 특이해지며($\det g_{\mu\nu} = 0$), 이는 가우스-본네 공식을 무효화한다.
• 위상적으로 비비어 있지 않은 단계에서 비영인 베리 곡률이 존재할 경우, 전체 첫 번째 브릴루앙 영역에서 양자 거리계량이 정의된 양의 정부정성을 가지며, 이는 오일러 수가 잘 정의되고 짝수 정수임을 보장한다.
• 에너지 밴드의 오일러 수는 가우스-본네 정리에 의해 항상 $\chi = 2(1 - g)$로 보장되며, 여기서 $g$는 폐쇄된 두 차원 블로흐 밴드 다양체의 종수이다.
• $\vec{d}(\mathbf{k})/d(\mathbf{k})$ 표면의 오일러 수는 에너지 밴드 다양체의 오일러 수와 동치가 아니며, 예를 들어 할던 모델에서는 경계로 인해 표면의 오일러 수는 0이지만, 에너지 밴드 다양체의 오일러 수는 비비어 있는 단계에서 $\chi = 2$이다.
• 비비어 있는 단계에서 실험적으로 관측된 비정수 오일러 수는 부족한 표면 기여 때문이 아니라, 거리계량의 특이성에 기인한 결과물이며, 위상적 기하학적 특성과는 관련이 없다.
• 두 밴드 시스템에서 오일러 수가 잘 정의되기 위해 양자 거리계량의 정의된 양의 정부정성이 필수적이고 충분한 조건이며, 이는 단지 비비어 있지 않은 채르넘 수보다 더 강력한 조건을 제공한다.