[논문 리뷰] Euler class groups and motivic stable cohomotopy

Aravind Asok, Jean Fasel외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 21.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 40인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 A¹-호모토피 이론에서 대수적 오일러 계급 군과 모티브릭 코호모토피 군 사이의 깊은 연결 고리를 설정하며, 기초 체와 차원에 적절한 조건이 만족될 경우, 매끄러운 아핀 k-다양체 위의 codimension $d$ 사이클의 오일러 계급 군이 모티브릭 코호모토피 군과의 공통적 규명을 통해 그 codimension $d$ 초우-위트 군과 동형임을 보여준다. 이는 영차 사이클 초우 군의 구조에 관한 오랫동안 남아있던 질문을 해결하며, 오일러 계급에 대한 세 가지 접근법—대수적( Bharwadekar–Sridharan), 코호모로지적(Barge–Morel), 호모토피적(Morel)—을 통합한다.

ABSTRACT

We study maps from a smooth scheme to a motivic sphere in the Morel-Voevodsky ${\mathbb A}^1$-homotopy category, i.e., motivic cohomotopy sets. Following Borsuk, we show that, in the presence of suitable hypotheses on the dimension of the source, motivic cohomotopy sets can be equipped with functorial abelian group structures. We then explore links between motivic cohomotopy groups, Euler class groups à la Nori-Bhatwadekar-Sridharan and Chow-Witt groups. We show that, again under suitable hypotheses on the base field $k$, if $X$ is a smooth affine $k$-variety of dimension $d$, then the Euler class group of codimension $d$ cycles coincides with the codimension $d$ Chow-Witt group; the identification proceeds by comparing both groups with a suitable motivic cohomotopy group. As a byproduct, we describe the Chow group of zero cycles on a smooth affine $k$-scheme as the quotient of the free abelian group on zero cycles by the subgroup generated by reduced complete intersection ideals; this answers a question of S. Bhatwadekar and R. Sridharan.

연구 동기 및 목표

• 오일러 계급에 대한 세 가지 접근법—대수적(Bhatwadekar–Sridharan), 코호모로지적(Barge–Morel), 호모토피적(Morel)—을 통합하기 위해.
• 모티브릭 코호모토피 군이 오일러 계급 군과 초우-위트 군을 해석하는 데 공동의 프레임워크를 제공함을 보여주기 위해.
• Barge와 Morel의 추측을 해결하기 위해 오일러 계급을 모티브릭 코호모토피를 통해 규명하기 위해.
• Bhatwadekar와 Sridharan의 질문에 답하기 위해 매끄러운 아핀 스킴 위의 영차 사이클의 초우 군을 줄임새로 줄어든 완전교차 이상수 이상수의 군으로 묘사하기 위해.

제안 방법

• Morel–Voevodsky의 A¹-호모토피 범주를 사용하여 모티브릭 코호모토피 집합을 모티브릭 구면으로의 사상 집합으로 정의한다.
• 차원 제약 조건 하에서 Borsuk의 정리를 적용하여 모티브릭 코호모토피 집합에 아벨 군의 구조를 부여한다.
• 이deals과 전성사상들을 통해 일치하는 행렬의 군을 통한 오일러 계급 군으로의 비교 사상 구축.
• 적절한 가정 하에서 오일러 계급 군 $\mathrm{E}^d(R)$, 모티브릭 코호모토피 군 $\pi^{\mathrm{A}^1}_{-d}(X)$, 초우-위트 군 $\widetilde{CH}^d(X)$ 사이의 표준적 동형을 확립한다.
• 호모토피 불변성과 기본 변형을 활용하여 일치 행렬의 군에서 오일러 계급 군으로의 사상이 잘 정의되어 있고 군의 구조를 유지함을 보여준다.
• Segre 계급 호모모르피즘과 이상론적 구성법을 사용하여 오일러 계급을 초우-위트 사이클과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 A¹-호모토피 이론에서 오일러 계급 군을 모티브릭 코호모토피 군으로 해석할 수 있는가?
• RQ2 매끄러운 아핀 $k$-다양체 $X$에 대해 오일러 계급 군 $\mathrm{E}^d(X)$가 초우-위트 군 $\widetilde{CH}^d(X)$와 일치하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 모티브릭 코호모토피 군 $\pi^{\mathrm{A}^1}_{-d}(X)$는 대수적, 코호모로지적, 호모토피적 오일러 계급을 위한 통합적 프레임워크로 기능할 수 있는가?
• RQ4 매끄러운 아핀 $k$-스킴 위의 영차 사이클의 초우 군의 구조는 무엇이며, 완전교차 이상수 이상수와 어떤 관련이 있는가?
• RQ5 일치 행렬의 군을 기본 행렬로 나눈 오일러 계급 군으로의 사상이 군 준동형사상인가?

주요 결과

• 기초 체 $k$가 무한이고 $X$가 $k$ 위에서 매끄럽다면, 차원 $d$인 매끄러운 아핀 $k$-다양체 $X$ 위의 codimension $d$ 사이클의 오일러 계급 군 $\mathrm{E}^d(X)$는 그 codimension $d$ 초우-위트 군 $\widetilde{CH}^d(X)$와 동형이다.
• 이 동형은 모티브릭 코호모토피 군 $\pi^{\mathrm{A}^1}_{-d}(X)$와의 공통적 규명을 통해 실현되며, 장애물 이론과 모티브릭 호모토피 이론 사이의 다리를 놓는다.
• 매끄러운 아핀 $k$-스킴 위의 영차 사이클의 초우 군은 줄임새로 줄어든 완전교차 이상수 이상수의 군으로 생성되는 자유 아벨 군의 몫과 동형이다.
• 주어진 가정 하에서 일치 행렬의 군을 기본 행렬로 나눈 사상 $\phi: \mathrm{Um}_{d+1}(R)/E_{d+1}(R) \to \mathrm{E}^d(R)$는 잘 정의된 군 준동형사상이다.
• 모티브릭 코호모토피 집합에 대한 군의 구조는 A¹-호모토피 범주의 구조에서 유도되며, 고전적 Borsuk 유형 결과를 일반화한다.
• Bhatwadekar–Sridharan의 오일러 계급 군과 Barge–Morel의 초우-위트 군 간의 비교는 공통의 모티브릭 코호모토피 군을 통해 실현되며, 오랫동안 남아있던 추측을 해결한다.