[논문 리뷰] Euler class of taut foliations and Dehn filling

Ying Hu|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 03.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 33인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $Χ$-호모로지 고체 토러스 위의 디엔 필링의 핵을 가로지르는 타우털 폴리에이션의 올드러 클래스가 0이 되는 데 필요한 필요충분조건을 상대 올드러 클래스와 모듈로 합동 조건을 사용하여 설정한다. 이를 통해 초평면적 링크 필링의 많은 디엔 필링들—특히 $r\geq3$인 경우의 프리티젤 린크 외부 $P(-2,3,2r+1)$—이 올드러 클래스가 0인 타우털 폴리에이션을 통해 좌순서 가능 fundamental group을 가짐을 보여준다.

ABSTRACT

In this article, we study the Euler class of taut foliations on the Dehn fillings of a $\mathbb{Q}$-homology solid torus. We give a necessary and sufficient condition for the Euler class of a foliation transverse to the core of the filling solid torus to vanish. We apply this condition to taut foliations on Dehn fillings of hyperbolic fibered manifolds and obtain many new left-orderable Dehn filling slopes on these manifolds. For instance, we show that when $X$ is the exterior of a pretzel knot $P(-2,3,2r+1)$, $r\geq 3$, $π_1(X(α_n))$ is left-orderable for a sequence of positive slopes $α_n$ with $α_0 =2g-2$ and $α_n o 2g-1$. Lastly, we prove that given any $\mathbb{Q}$-homology solid torus, the set of slopes for which the corresponding Dehn fillings admit a taut foliation transverse to the core with zero Euler class is nowhere dense in $\mathbb{R}\cup \{\frac{1}{0}\}$.

연구 동기 및 목표

• 디엔 필링의 핵을 가로지르는 타우털 폴리에이션의 올드러 클래스가 $Χ$-호모로지 고체 토러스 위에서 0이 되는 조건을 규명하는 것.
• 이 기준을 활용하여 초평면적 링크 필링에 대해 새로운 좌순서 가능 디엔 필링의 예를 구성하는 것.
• 올드러 클래스가 0인 타우털 폴리에이션을 갖는 기울기의 집합이 유리 기울기 구면에서 어디서도 조밀하지 않다는 것을 보이는 것.
• 특정 프리티젤 린크에 대해 $2g-1$에 수렴하는 양의 기울기 가중치의 가중치 집합에 대해 좌순서 가능성 결과를 확장하는 것.

제안 방법

• 경계 $\partial X$ 에서 외향성 섹션 $\sigma$ 와 관련된 상대 올드러 클래스 $e_{\sigma}(\mathcal{F})$ 를 사용한다.
• 정리 1.4를 적용: 확장된 폴리에이션 $\widehat{\mathcal{F}}$ 가 $X(p/q)$ 위에서 올드러 클래스가 0이 되는 것은 $aq \equiv 1 \pmod{p}$ 를 만족할 때이고, 여기서 $a = e_{\sigma}(\mathcal{F})([F])$ 이다.
• 올드러 클래스가 0인 이러한 폴리에이션을 갖는 기울기 집합 $\mathcal{S}_{X,\mu}$ 의 구조를 분석한다.
• 이 집합이 $\mathbb{R} \cup \{1/0\}$ 에서 어디서도 조밀하지 않음을 증명하기 위해, 이 집합이 어디서도 조밀하지 않은 집합들의 가산 합집합임을 보인다.
• 특히, 테라스 노름과 섬유 표면의 종수 $g$ 를 사용하여, 섬유화된 다양체, 특히 링크 외부에 대해 이 기준을 적용한다.
• 정수 기울기의 경우를 단순화한 조건을 도출: 기울기 $m$ 의 부호에 따라 $e_{\sigma}(\mathcal{F})([F]) = \pm1$ 이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 디엔 필링의 핵을 가로지르는 타우털 폴리에이션의 올드러 클래스가 어떤 조건에서 0이 되는가?
• RQ2 초평면적 섬유화된 3차원 다양체 위의 디엔 필링 기울기 중에서 올드러 클래스가 0인 타우털 폴리에이션을 갖는 것은 무엇인가?
• RQ3 올드러 클래스가 0인 타우털 폴리에이션을 갖는 기울기 집합은 모든 기울기 공간에서 얼마나 조밀한가?
• RQ4 기울기가 $2g-1$ 에 수렴하는 기울기 수열에 대해, 올드러 클래스가 0인 타우털 폴리에이션을 통해 기본군의 좌순서 가능성을 확립할 수 있는가?
• RQ5 상대 올드러 클래스와 모듈로 합동 조건은 올드러 클래스의 0이 되는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 디엔 필링의 핵을 가로지르는 타우털 폴리에이션의 올드러 클래스가 $Χ$-호모로지 고체 토러스 위에서 0이 되는 것은 $aq \equiv 1 \pmod{p}$ 를 만족할 때이며, 여기서 $a = e_{\sigma}(\mathcal{F})([F])$ 이다.
• $r \geq 3$ 인 프리티젤 린크 $P(-2,3,2r+1)$ 에 대해, $\alpha_0 = 2g - 2$ 이고 $\alpha_n \to 2g - 1$ 인 양의 기울기 수열 $\alpha_n$ 에 대해 디엔 필링 $X(\alpha_n)$ 의 기본군은 좌순서 가능하다.
• 핵을 가로지르는 올드러 클래스가 0인 타우털 폴리에이션을 갖는 디엔 필링의 기울기 집합은 $\mathbb{R} \cup \{1/0\}$ 에서 어디서도 조밀하지 않다.
• 정수 기울기 $m$ 에 대해, $m > 0$ 이면 $e_{\sigma}(\mathcal{F})([F]) = 1$, $m < 0$ 이면 $-1$ 이면 올드러 클래스가 0이 된다.
• 결과적으로, 섬유화된 다양체에서 $2g - 1$ 에 수렴하는 무한히 많은 기울기들에서 좌순서 가능성이 올드러 클래스가 0인 타우털 폴리에이션을 통해 달성될 수 있음을 확인한다.
• 이 구성은 모든 $Χ$-호모로지 고체 토러스에 적용 가능하며, 이러한 기울기 집합이 가산 개의 어디서도 조밀하지 않은 집합들의 합집합임을 보여, 전체적으로 어디서도 조밀하지 않음을 증명한다.