[논문 리뷰] Euler-Maruyama Approximations for Stochastic McKean-Vlasov Equations with Non-Lipschitz Coefficients

Xiaojie Ding, Huijie Qiao|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 28.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비리프시츠 계수를 가진 확률적 McKean-Vlasov 방정식에 대해 올리버-마루야마 근사법을 사용하여 강해 해의 존재성과 유일성을 확립한다. 선형 성장 조건과 비리프시츠 조건 하에서 강해 수렴 속도의 최적 계수 $ O(2^{-n}) $ 를 증명하며, 복잡한 마링갈 해 구성 기법을 피하기 위해 직접 근사 기법을 사용한다.

ABSTRACT

In this paper we study a type of stochastic McKean-Vlasov equations with non-Lipschitz coefficients. Firstly, by an Euler-Maruyama approximation existence of its weak solutions is proved. And then we observe pathwise uniqueness of its weak solutions. Finally, it is shown that the Euler-Maruyama approximation has an optimal strong convergence rate.

연구 동기 및 목표

• 비리프시츠 계수를 가진 확률적 McKean-Vlasov 방정식에 대해 약한 해의 존재성을 확립하기 위해.
• 두 가지 비리프시츠 조건 하에서 약한 해의 경로별 유일성을 증명하기 위해.
• 약한 해의 존재성과 경로별 유일성을 결합하여 강해 해의 존재성과 유일성을 도출하기 위해.
• 해당 방정식에 대한 올리버-마루야마 근사의 수렴 속도를 분석하기 위해.
• 복잡한 측도 이론적 기법을 피하기 위해 직접 근사 기법을 사용하여 마링갈 해를 간단한 방법으로 구성하기 위해.

제안 방법

• 선형 성장 조건과 비리프시츠 조건 하에서 약한 해의 존재성을 올리버-마루야마 근사법을 통해 증명하기 위해.
• 수렴하는 근사 수열의 존재성을 보장하기 위해 고정점 원리와 코herence 원리를 적용하기 위해.
• 스토크레틱 적분의 모멘트를 제어하기 위해 버크홀더-데이비스-건디 (BDG) 부등식과 헬더 부등식을 활용하기 위해.
• 계수의 비리프시츠 행동을 다루기 위해 연속성 모듈러스 $ \kappa_\eta $ 를 도입하기 위해.
• 정확한 해와 근사 해의 차이를 유 bounds 하기 위해 그론발라 타입 부등식과 반복적 추정을 결합하기 위해.
• 논문 [10]의 보조정리 144과 [13]의 결과를 적용하여 근사 오차의 지수 감소 추정을 유도하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계수가 비리프시츠이면서 선형 성장 조건을 만족할 때, 확률적 McKean-Vlasov 방정식에 대해 약한 해가 존재할 수 있는가?
• RQ2 어떤 비리프시츠 조건 하에서 약한 해의 경로별 유일성이 보장되는가?
• RQ3 이러한 조건 하에서 올리버-마루야마 방법이 진짜 해로 강하게 수렴하는가?
• RQ4 이러한 방정식에 대해 올리버-마루야마 근사의 최적 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ5 복잡한 측도 이론적 장치 없이 직접 근사 기법을 통해 마링갈 해를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 선형 성장 조건과 비리프시츠 조건 하에서 올리버-마루야마 근사법을 통해 확률적 McKean-Vlasov 방정식에 대해 약한 해가 존재한다.
• 두 가지 서로 다른 비리프시츠 조건 하에서 경로별 유일성이 성립하여 강해 해의 구성이 가능해진다.
• 올리버-마루야마 근사법은 진짜 해로 강하게 수렴하며, 최적의 수렴 속도 $ O(2^{-n}) $ 를 가진다.
• 수렴 속도는 모멘트 추정, BDG 부등식, 반복적 그론발라 타입 추정을 통해 도출된다.
• 이전 연구에서 사용된 복잡한 계산을 피하기 위해 직접 근사 기법을 통해 마링갈 해를 구성함으로써 간단한 대안을 제공한다.
• 오차 한계 $ \mathbb{E}\left(\sup_{t\in[0,T]}|X_t^n - X_t|^2\right) = O(2^{-n}T_0) $ 는 최적 수렴 속도를 확인한다.