[논문 리뷰] Euler's divergent series in arithmetic progressions

Anne-Maria Ernvall-Hytönen, Tapani Matala-aho외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 11.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 임의의 0이 아닌 정수 ξ와 유리수 a/b에 대해, m ≥ 3인 모듈로 m에 대한 기약 잔여류의 절반 이상에서 무한히 많은 소수 p가 존재하여 오일러의 발산하는 계승수열의 p진 평가 Fₚ(ξ)가 a/b와 같지 않음을 증명한다. 글로벌 관계 이론과 p진 해석을 통해, Fₚ(ξ) = a/b를 만족하는 소수의 집합은 모듈로 m에 대해 절반을 초과하는 잔여류를 포함할 수 없으며, 이는 Fₚ(ξ)가 양의 밀도를 가지는 소수들에서 유리수 값을 피한다는 것을 의미한다.

ABSTRACT

Let $ξ$ and $m$ be integers satisfying $ξ e 0$ and $m\ge 3$. We show that for any given integers $a$ and $b$, $b eq 0$, there are $\frac{φ(m)}{2}$ reduced residue classes modulo $m$ each containing infinitely many primes $p$ such that $a-bF_p(ξ) e 0$, where $F_p(ξ)=\sum_{n=0}^\infty n!ξ^n$ is the $p$-adic evaluation of Euler's factorial series at the point $ξ$.

연구 동기 및 목표

• 오일러의 발산 계승수열 Fₚ(ξ) = ∑n≥0 n!ξⁿ의 p진 완비화에서의 산술적 성질을 조사한다.
• Fₚ(ξ)가 주어진 유리수 a/b와 같아질 수 있는 소수 p가 무한히 많은지 여부를 규명한다.
• Fₚ(ξ) = a/b를 만족하는 소수의 집합이 모듈로 m에 대해 기약 잔여류의 절반을 초과할 수 없다는 것을 확립한다.
• 글로벌 관계 이론을 확장하여, Fₚ(ξ) ≠ a/b가 양의 밀도를 가지는 소수들에서 성립함을 보인다.

제안 방법

• 제1정리의 응용: 집합 R가 곱 ∏|n!|_p²에 대해 특정 수렴 조건을 만족하면, 무한히 많은 p ∈ R가 Λ(Fₚ(ξ)) ≠ 0를 만족함을 보장한다.
• p진 해석과 스타링의 근사법을 활용하여 log|n!|_p와 산술적 등차수열에서의 p진 절대값 기여도를 추정한다.
• 디리클레의 정리(산술적 등차수열에 대한 소수의 분포)를 적용하여 모듈로 m의 기약 잔여류에서 소수의 분포를 분석한다.
• 일반화된 리만 가설(GRH)을 활용하여, 잔여류 내 소수에 대한 log|n!|_p 합계의 오차 항을 정밀화한다.
• 모듈로 m의 r개의 잔여류에서 소수에 대해 ∏|n!|_p²의 성장률을 분석하여, n!의 지수 항이 r > φ(m)/2일 때 음의 계수 1 - 2r/φ(m)를 가지며 수렴함을 보인다.
• 조건 lim supₙ→∞ cⁿ n! ∏|n!|_p² = 0을 적용하여, r > φ(m)/2인 집합 R에 대해 글로벌 관계 조건을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 오일러의 계승수열의 p진 값 Fₚ(ξ)가 주어진 유리수 a/b와 같아질 수 있는 소수 p가 무한히 많은가?
• RQ2 모듈로 m의 잔여류의 구조를 고려할 때, Fₚ(ξ) = a/b가 성립할 수 있는 소수의 최대 밀도는 얼마인가?
• RQ3 기약 잔여류의 절반을 초과하는 모듈로 m의 잔여류를 포함하는 글로벌 관계 집합 G_Λ = {p ∈ ℙ | Λ(Fₚ(ξ)) = 0}을 구성하는 것이 가능한가?
• RQ4 산술적 등차수열에서 소수의 분포가 계승수의 p진 노름을 포함하는 곱의 수렴성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 특히 r > φ(m)/2일 때, 글로벌 관계 조건을 모듈로 m의 잔여류만으로 검증할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 정수 m ≥ 3와 모든 0이 아닌 ξ에 대해, 주어진 유리수 a/b에 대해 Fₚ(ξ) ≠ a/b를 만족하는 소수 p가 모듈로 m의 기약 잔여류의 절반 이상에서 무한히 존재한다.
• Fₚ(ξ) = a/b를 만족하는 소수의 집합은 모듈로 m에 대해 최대 φ(m)/2개의 잔여류를 포함할 수 있으며, 이는 그러한 값이 양의 밀도를 가지는 소수 집합에서 피함을 의미한다.
• 증명 과정에서, r개의 잔여류에서 ∏|n!|_p²에 대한 n!의 지수 항이 점근 전개에서 음의 계수 1 - 2r/φ(m)를 가지며, 이는 0으로 수렴함을 보장한다.
• 일반화된 리만 가설 하에서, 잔여류 내 소수에 대한 합계의 오차 항은 O(n)으로 유계이며, 이는 주항등항과 상쇄될 수 있다.
• 모듈로 m의 r > φ(m)/2인 기약 잔여류의 합집합 R에 대해, 조건 lim supₙ→∞ cⁿ n! ∏|n!|_p² = 0가 성립하여 제1정리의 적용 가능성을 확인한다.
• 결과적으로 Fₚ(ξ)는 모듈로 m의 임의의 기약 잔여류 시스템에서 적어도 절반의 소수에서 유리수가 아님이 보장된다.