[논문 리뷰] Eulerian polynomials, perfect matchings and Stirling permutations of the second kind

Shi-Mei Ma, Yeong‐Nan Yeh|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 05.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 22인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 제2종 스틸링 순열을 도입하고 오일러 다항식, 완전 매칭, 순환 통계 간의 조합적 연결을 수립한다. 순환 상승 평탄부, 고정점, 순환으로 나누어 세는 다항식에 대한 생성함수와 점화식을 제공하며, 대칭성과 실근성 성질을 드러내며, 지수 생성함수와 문맥 자유 문법을 통해 이들이 데랑주먼트와 $2n$-연결 그래프와 연결됨을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we first present combinatorial proofs of a kind of expansions of the Eulerian polynomials of types A and B, and then we introduce Stirling permutations of the second kind. In particular, we count Stirling permutations of the second kind by their cycle ascent plateaus, fixed points and cycles.

연구 동기 및 목표

• 고전적 스틸링 순열의 일반화로서 제2종 스틸링 순열을 정의하고 연구하는 것.
• 완전 매칭을 이용하여 A형 및 B형 오일러 다항식의 조합적 해석을 수립하는 것.
• 생성함수를 사용하여 순환 상승 평탄부, 고정점, 순환으로 나누어 세는 스틸링 순열을 수량화하는 것.
• 유도된 다항식에 대한 점화식과 대칭성 성질을 유도하는 것.
• 지수 생성함수를 통해 스틸링 데랑주먼트와 $2n$-연결 그래프 간의 관계를 탐구하는 것.

제안 방법

• $s$-역전 순열을 도입하고, 이를 통해 오일러 다항식 $A_n(x)$와 $B_n(x)$를 특정 정수 수열 위에서의 생성함수로 표현하는 것.
• 고전적 $k$-스틸링 순열 조건의 일반화를 통해 제2종 스틸링 순열을 정의하는 것.
• 문맥 자유 문법과 지수 생성함수를 사용하여 다항식 $R_n(x,q)$와 $N_n(x)$에 대한 점화식을 도출하는 것.
• 지수 공식을 적용하여 스틸링 데랑주먼트의 수에 대한 생성함수 $\sum_{n\geq 0} q_n \frac{z^n}{n!} = \frac{e^{-z}}{\sqrt{1-2z}}$를 유도하는 것.
• 스틸링 데랑주먼트의 생성함수와 데랑주먼트 다항식 간의 쌍대 관계를 수립하며, 예를 들어 $S^2(x,z) = d(x,2z)$와 같은 관계를 제시하는 것.
• 미분 연산자 $\frac{\partial}{\partial x}$와 조합적 분해를 활용하여 점화식 $R_{n+1}(x,q) = 2nxR_n(x,q) + 2x(1-x)\frac{\partial}{\partial x}R_n(x,q) + 2nxqR_{n-1}(x,q)$를 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제2종 스틸링 순열은 어떻게 정의되고, 순환 상승 평탄부, 고정점, 순환으로 나누어 세울 수 있는가?
• RQ2 스틸링 순열의 생성함수와 A형 및 B형 오일러 다항식 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 다항식 $R_n(x,q)$와 $N_n(x)$는 완전 매칭과 데랑주먼트와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 스틸링 순열의 순환 구조에 따른 수량화를 지배하는 점화식은 무엇인가?
• RQ5 유도된 다항식은 어떤 대칭성과 근 성질을 보이는가?

주요 결과

• 순환 상승 평탄부로 세는 스틸링 데랑주먼트를 수량화하는 다항식 $R_n(x)$는 초기 조건 $R_1(x,q)=0$, $R_2(x,q)=2qx$, $R_3(x,q)=4qx(1+x)$를 갖는 점화식 $R_{n+1}(x,q) = 2nxR_n(x,q) + 2x(1-x)\frac{\partial}{\partial x}R_n(x,q) + 2nxqR_{n-1}(x,q)$를 만족한다.
• $R_n(x)$의 생성함수는 $S^2(x,z) = d(x,2z)$를 만족하며, 이는 스틸링 데랑주먼트와 고전적 데랑주먼트 사이의 쌍대성을 수립한다.
• 다항식 $R_n(x)$는 대칭적이며, $n \geq 2$일 때 단순 실근만을 가진다. 이는 실근성에 관한 기존 결과와의 연결을 통해 입증된다.
• $S(-1,z)$를 평가하면 $\sqrt{\sec(2i z)}$를 얻으며, 이는 순환 상승 평탄부의 부호가 붙은 합이 특정 순열의 수열 $h_n$($h_0=1$, $h_1=2$, $h_2=28$, $h_3=1112$, $h_4=87568$)과 연결됨을 보여주며, 이 수열은 순환과 초월 조건을 갖는 특정 순열을 세는 데 쓰인다.
• 스틸링 데랑주먼트의 수 $q_n$은 $q_{n+1} = 2n(q_n + q_{n-1})$를 만족하며, $q_0=1$, $q_1=0$, $q_2=2$이다. 그 지수 생성함수는 $\frac{e^{-z}}{\sqrt{1-2z}}$이다.
• 관계 $M_n(x) = x^n N_n(1/x)$는 완전 매칭에서 홀수로 큰 원소의 수를 세는 다항식 $M_n(x)$와 짝수로 큰 원소의 수를 세는 다항식 $N_n(x)$ 사이의 관계를 드러내며, 매칭 내의 짝수와 홀수 순환 통계 간의 쌍대성을 보여준다.