[논문 리뷰] Eulerian time-stepping schemes for the non-stationary Stokes equations on time-dependent domains

Erik Burman, Stefan Frei외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 07.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 시간에 따라 변화하는 도메인에서 비정상 스토크스 방정식에 대한 새로운 에일러 방식 시간 스텝 방법을 제안한다. 기하학적으로 맞지 않는 유한요소법을 사용하며, 경계 조건은 니츠체 방법으로, 해의 값은 이전 시간 스텝에서 암시적으로 연장하기 위해 고스트 페널티 안정화 기법을 적용한다. 주요 기여는 속도 오차에 대해 최적의 $L^2(L^2)$-노름 오차 한계를 증명하는 완전한 사전 오차 분석을 제공한다는 점이며, 이는 수치적으로도 검증되었다.

ABSTRACT

This article is concerned with the discretisation of the Stokes equations on time-dependent domains in an Eulerian coordinate framework. Our work can be seen as an extension of a recent paper by Lehrenfeld & Olshanskii [ESAIM: M2AN, 53(2):585-614, 2019], where BDF-type time-stepping schemes are studied for a parabolic equation on moving domains. For space discretisation, a geometrically unfitted finite element discretisation is applied in combination with Nitsche's method to impose boundary conditions. Physically undefined values of the solution at previous time-steps are extended implicitly by means of so-called ghost penalty stabilisations. We derive a complete a priori error analysis of the discretisation error in space and time, including optimal $L^2(L^2)$-norm error bounds for the velocities. Finally, the theoretical results are substantiated with numerical examples.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변화하는 도메인에서 비정상 스토크스 방정식에 대해 안정적이고 정확한 시간 스텝 방법을 개발한다.
• 이전 시간 단계에서 정의된 해 $ \Omega(t_{n-1}) $ 가 다음 시간 단계의 도메인 $ \Omega(t_n) $ 에서 필요로 하는 상황에서, 도메인의 변화에 따라 해 데이터를 전달하는 데 발생하는 과제를 해결한다.
• 공간-시간 이산화에 대해 완전한 사전 오차 분석을 제공하며, 속도 오차에 대해 $ L^2(L^2) $-노름에서 최적의 수렴 속도를 확보한다.
• 고스트 페널티 안정화 기법을 도입하여, 시간에 따라 변화하는 문제에 대해 맞지 않는 유한요소법의 적용 가능성을 확장한다.

제안 방법

• 배경 메쉬가 도메인 경계와 독립된 기하학적으로 맞지 않는 유한요소법을 사용하며, 이는 도메인의 이동이 임의로 이루어져도 메esh 재구성 없이 가능하게 한다.
• 이동 경계에서 경계 조건을 약하게 강제하기 위해 니츠체 방법을 사용하며, 이는 몸체에 맞는 메쉬가 필요 없이도 안정성과 일致성을 확보한다.
• 이전 시간 단계 $ \bm{u}_h(t_{n-1}) $ 에서의 해를 현재 도메인 $ \Omega(t_n) $ 로 암시적으로 연장하기 위해 고스트 페널티 안정화 기법을 적용하며, 명시적 투영이나 보간을 피한다.
• 뒤이어 차분 공식(BDF)-유형의 시간 이산화를 사용하며, 시간 도함수는 현재 도메인에서 변분 형식에 의해 근사한다.
• 기준 구성(configuration)을 통해 변환 $ \bm{T}(t) $ 를 사용하여 분석을 수행하며, 고정된 도메인 $ \hat{\Omega} $ 에서 표준 유한요소 도구를 사용한 후 물리적 도메인으로 다시 끌어올린다.
• 에너지 방법을 사용하여 사전 오차 추정을 유도하며, $ L^2(L^2) $-노름의 속도 오차를 bound하기 위해 그론발의 부등식을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 메쉬 재구성 또는 ALE 매핑 없이도 시간에 따라 변화하는 도메인에서 비정상 스토크스 방정식에 대해 안정적이고 수렴 가능한 시간 스텝 방법을 개발할 수 있는가?
• RQ2 이전 시간 단계에서 정의되지 않은 해 값은 어떻게 안정적이고 일致성 있게 현재 도메인으로 확장할 수 있는가?
• RQ3 시간에 따라 변화하는 도메인에서 공간-시간 이산화에 대해 속도 오차의 최적 수렴 속도는 $ L^2(L^2) $-노름에서 얼마인가?
• RQ4 고스트 페널티 안정화 기법은 이동 도메인 문제의 시간 스텝 방법에서 명시적 투영이나 보간을 효과적으로 대체할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 속도에 대해 최적의 $ L^2(L^2) $-노름 오차 한계를 확보하며, 공간과 시간 양쪽에서 최적 수렴을 확인한다.
• 사전 오차 분석은 도메인 운동과 유한요소 정규성에 대한 표준 가정 하에 해의 안정성과 수렴성을 입증한다.
• 고스트 페널티 안정화 기법을 통해 과거 해 값이 암시적으로 현재 도메인으로 연장되며, 명시적 투영을 피하고 정확도를 유지한다.
• 메쉬의 연속적 매핑에 의존하지 않기 때문에, 큰 도메인 변형과 위상 변화에 대해 강건하다.
• 수치 예제는 이론적 오차 한계를 확인하며, 이동 도메인에서의 방법의 강건성과 효율성을 보여준다.