[논문 리뷰] Evaluable Jones-Wenzl idempotents at root of unity and modular representation on the center of U_qsl(2)

Elsa Ibanez|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 13.

Algebraic structures and combinatorial models인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 4p차 단위근에서 Temperley-Lieb 대수에서 평가 가능한 Jones-Wenzl 임베디드 아이드포텐셜을 도입하여, 2p차 단위근에서 U_qsl(2)의 유한차원 단순 및 프로젝티브 불가분 표현을 기술하는 표준 아이드포텐셜을 일반화한다. 이러한 아이드포텐셜은 색칠된 스케인 모듈에서 정규 기저를 제공하며, 음의 비틀림과 굽힘 작용 사이에 부분적인 일치를 가능하게 하고, U_qsl(2)의 중심에서의 SL(2,Z) 표현을 비자명하게 확장한다.

ABSTRACT

Let p an integer. We define a family of idempotents (and nilpotents) in the Temperley - Lieb algebras at 4p-th roots of unity which generalize the usual Jones-Wenzl idempotents. These new idempotents correspond to finite dimentional simple and projective indecomposable representations of the restricted quantum group Uqsl(2), where q is a 2p-th root of unity. In the manner of the [BHMV95] topological quantum field theorie (TQFT), they provide a canonical basis in colored skein modules to define mapping class groups representations. In the torus case, this basis allows us to obtain a partial match between the negative twist and the buckling actions, and the [LM94] induced representation of SL2(Z) on the center of Uqsl(2), which extends non trivially the [RT91] representation of SL2(Z).

연구 동기 및 목표

• 4p차 단위근에서 Temperley-Lieb 대수의 표준 Jones-Wenzl 아이드포텐셜을 일반화하여, 2p차 단위근에서 U_qsl(2)의 표현을 기술한다.
• 이 일반화된 아이드포텐셜을 사용하여 표면의 색칠된 스케인 모듈에서 정규 기저를 구성함으로써 위상적 양자장 이론 응용을 위해 사용한다.
• 토러스 경우에서 음의 비틀림과 굽힘 작용 사이의 부분적인 일치를 U_qsl(2) 중심에서의 SL(2,Z) 표현과 수립한다.
• U_qsl(2) 중심에서의 RT91 표현을 비자명하게 확장한다.

제안 방법

• 4p차 단위근에서 Temperley-Lieb 대수에서 아이드포텐셜과 영항성의 가닥을 정의하여 표준 Jones-Wenzl 프로젝터를 일반화한다.
• q가 2p차 단위근일 때, 이러한 아이드포텐셜이 제한된 양자군 U_qsl(2)의 유한차원 단순 및 프로젝티브 불가분 표현과 관련이 있음을 규명한다.
• 이 아이드포텐셜을 사용하여 표면, 특히 토러스 경우에서 색칠된 스케인 모듈에서 정규 기저를 구성한다.
• 이 아이드포텐셜을 통해 매핑 클래스 군의 스케인 모듈에서의 작용을 분석하며, 음의 비틀림과 굽힘 연산에 초점을 맞춘다.
• U_qsl(2) 중심에서 유도된 작용을 [LM94]에서 정의된 SL(2,Z) 표현과 비교하여, [RT91]의 표현을 비자명하게 확장함을 보인다.
• TQFT 기법을 [BHMV95] 스타일로 응용하여 스케인 모듈과 아이드포텐셜 기저를 사용해 위상적 자료로부터 표현을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 Jones-Wenzl 아이드포텐셜은 4p차 단위근에서 Temperley-Lieb 대수에서 어떻게 일반화되어 U_qsl(2)의 2p차 단위근에서의 표현을 포괄할 수 있는가?
• RQ2 이 일반화된 아이드포텐셜은 표면의 색칠된 스케인 모듈에 대한 정규 기저를 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 토러스에서 음의 비틀림과 굽힘 작용은 U_qsl(2) 중심에서의 SL(2,Z) 표현과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 U_qsl(2) 중심에서 유도된 표현은 RT91 표현을 어떻게 비자명하게 확장하는가?
• RQ5 일반화된 아이드포텐셜은 U_qsl(2)의 단위근에서 일관된 TQFT 프레임워크를 제공할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 4p차 단위근에서 Temperley-Lieb 대수에서 평가 가능한 Jones-Wenzl 아이드포텐셜의 가닥을 구성하여 표준 Jones-Wenzl 프로젝터를 일반화한다.
• 이 아이드포텐셜은 q가 2p차 단위근일 때, 제한된 양자군 U_qsl(2)의 유한차원 단순 및 프로젝티브 불가분 표현과 정확히 대응한다.
• 이 아이드포텐셜은 색칠된 스케인 모듈에서 정규 기저를 형성하며, TQFT 기법을 통해 매핑 클래스 군 표현을 정의할 수 있게 한다.
• 토러스 경우에서 음의 비틀림과 굽힘 작용의 작용은 [LM94]에서 정의된 U_qsl(2) 중심에서의 SL(2,Z) 표현과 일치한다.
• 이 구성은 U_qsl(2) 중심에서의 RT91 표현을 비자명하게 확장하여 더 풍부한 모듈러 표현 구조를 제공한다.
• 이 프레임워크는 [BHMV95] 정신으로서 스케인 모듈과 아이드포텐셜 기저를 사용하여 위상적 자료로부터 표현을 정의하는 TQFT 유사 구성의 실현을 이룬다.