[논문 리뷰] Evaluation of one-dimensional polylogarithmic integral, with applications to infinite series

Kam Cheong Au|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 08.

Advanced Mathematical Identities인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 반복 적분과 정규화 기법을 사용하여 다중로그 함수와 일반화된 다중로그 함수를 포함하는 일변수 적분을 체계적으로 평가하는 방법을 제시한다. 다양한 Apéry 유형의 무한급수와 정적분에 대해 닫힌 형태의 평가를 도출하며, 결과는 색상이 부여된 다중 리만 제타값(CMZV), 다중 제타값 및 캐럴턴 상수, 디리클레 베타 함수와 같은 특수 상수로 표현된다.

ABSTRACT

We give systematic method to evaluate a large class of one-dimensional integral relating to multiple zeta values (MZV) and colored MZV. We also apply the technique of iterated integrals and regularization to elucidate the nature of some infinite series involving binomial coefficients. This technique can be applied to many Ap\\'ery-type infinite sums.

연구 동기 및 목표

• 일반 및 일반화된 다중로그 함수를 포함하는 일변수 적분을 평가하기 위한 일반적인 방법을 개발하기 위해.
• 이항계수와 역중앙이항계수를 포함하는 무한급수를 체계적으로 평가하고, 특히 Apéry 유형의 합을 중심으로 하기 위해.
• 결과를 색상이 부여된 다중 제타값(CMZV)으로 표현하고, 특히 수준 2와 4에서의 대칭적 구조를 명확히 하기 위해.
• 이전에 추측되었거나 해결이 어려웠던 무한급수의 명시적 평가를 제공하며, $\operatorname{Li}_n(1/2)$, $\operatorname{Li}_n((1+i)/2)$, $\beta(4)$를 포함한 사례를 포함하기 위해.
• 반복 적분과 정규화를 이용해 복잡한 다중로그 적분과 급수를 대수적이고 정렬된 상수로 환원하는 프레임워크를 구축하기 위해.

제안 방법

• 복소평면 상의 경로에서 정의된 반복 적분(미분형식의 당김을 통한 정의)을 사용하여 다중로그 함수를 포함하는 피적분함수를 표현하기 위해.
• 일반화된 다중로그 함수 평가 과정에서 발생하는 발산 또는 특이 적분을 다루기 위해 정규화 기법을 적용하기 위해.
• Hoffman-Racinet 대수적 프레임워크를 활용하여 반복 적분을 표준 MZV 및 CMZV 기저의 조합으로 변환 및 단순화하기 위해.
• 4-적합한 유리함수에 대한 $S_3 \times S_4$ 대칭군 작용을 적용하여 동치의 적분 표현을 생성하고 평가를 단순화하기 위해.
• 푸리에-레지온 전개와 함수 방정식을 적용하여 적분을 $\operatorname{Li}_n(z)$ 및 $\zeta(s)$의 알려진 특수값과 연결하기 위해.
• ResearchGate에 공개된 맞춤형 Mathematica 패키지를 활용하여 $\operatorname{Li}_n(x)$를 포함하는 명시적 적분을 계산하고 검증하기 위해, 특히 $n \leq 8$인 경우에 중점적으로.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반복 적분과 정규화를 사용하여 다중로그 함수를 포함하는 일변수 적분을 어떻게 체계적으로 평가할 수 있는가?
• RQ2 $\binom{2n}{n}^{-1}$, $\binom{3n}{n}^{-1}$ 및 조화합을 포함하는 무한급수의 대수적 구조는 무엇이며, 이를 알려진 상수로 환원할 수 있는가?
• RQ3 Apéry 유형 급수의 닫힌 형태에서 $\operatorname{Li}_n(1/2)$, $\operatorname{Li}_n((1+i)/2)$, $\beta(4)$, $\zeta(3)$의 어떤 조합이 나타나는가?
• RQ4 수준 2와 수준 4의 색상이 부여된 다중 제타값($\textsf{CMZV}^2_n$, $\textsf{CMZV}^4_n$)은 이러한 적분과 급수의 평가 과정에서 어떻게 자연스럽게 나타나는가?
• RQ5 $\operatorname{Li}_2(-4x/(1-x)^2)$와 $\log^k(1+x)$를 포함하는 적분의 평가가 대수적 및 해석적 기법을 통해 알려진 특수 상수로 환원될 수 있는가?

주요 결과

• 급수 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{H_{n-1}^{(2)}}{n^3} \left[2^n \binom{2n}{n}^{-1}\right]$ 는 $C$가 캐럴턴 상수일 때 $\frac{\pi^3 C}{24} - \pi \beta(4) - \frac{3\pi^2 \zeta(3)}{128} + \frac{527 \zeta(5)}{256} + \frac{1}{384} \pi^4 \log 2$ 로 평가되며,
• 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^5 2^n \binom{3n}{n}}$ 는 닫힌 형태로 평가되며, Borwein의 추측을 확인한다: $4\pi \Im\left(\operatorname{Li}_4\left(\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\right)\right) + 3\pi \beta(4) - \frac{51}{2} \operatorname{Li}_5\left(\frac{1}{2}\right) - 15 \operatorname{Li}_4\left(\frac{1}{2}\right) \log 2 + \frac{\pi^2 \zeta(3)}{4} + \frac{9\zeta(5)}{2} - 3\zeta(3) \log^2 2 - \frac{97}{240} \log^5 2 + \frac{41}{144} \pi^2 \log^3 2 - \frac{61}{960} \pi^4 \log 2$
• 적분 $\int_0^1 \frac{\operatorname{Li}_2(-4x/(1-x)^2) \operatorname{Li}_3(1-x^2)}{x} dx$ 는 $\operatorname{Li}_4(1/2)$, $\zeta(3)^2$, $\zeta(5)\log 2$, $\pi^6$, $\log^4 2$, $\pi^4 \log^2 2$ 의 조합으로 평가된다.
• 적분 $\int_0^1 \frac{\log^2(1-x) \log^2 x \log^3(1+x)}{x} dx$ 는 $\operatorname{Li}_5(1/2)^2$, $\operatorname{Li}_6(1/2)$, $\zeta(3)^2$, $\pi^8$, 다양한 로그의 거듭제곱을 포함하는 매우 복잡한 표현을 유도하며, 수준 2의 무게 8 CMZV 항이 누락되지 않았다.
• 합 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{H_n^{s_1,\dots,s_k}}{n^s} a_n^{\pm 1}$ 는 $\textsf{CMZV}^2_S$ 에 속하고, $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{H_n^{s_1,\dots,s_k}}{n^s} a_n^{-2}$ 는 $\textsf{CMZV}^4_S$ 에 속하며, $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{H_n^{s_1,\dots,s_k}}{n^s} a_n^2$ 는 $\frac{1}{\pi} \textsf{CMZV}^4_{S+1}$ 에 속한다. 여기서 $a_n = 4^{-n} \binom{2n}{n}$ 이다.
• 수준 4의 무게 5 CMZV의 완전한 환원이 계산되었으며, 이러한 적분과 급수의 기호적 평가를 위한 Mathematica 패키지가 제공되었다.