[논문 리뷰] Evaluation of some second moment and other integrals for the Riemann, Hurwitz, and Lerch zeta functions

Mark W. Coffey|arXiv (Cornell University)|2011. 01. 29.

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한 줄 요약

이 논문은 복소해석학과 적분변환을 사용하여 리만, 힐베르트, 레르히 제타 함수의 두 번째 모멘트에 대한 새로운 적분 평가를 유도한다. 주요 결과는 ∫|ζ(1/2+it)|²/(t²+1/4) dt = 2π(ln(2π)−γ)이며, 여기서 γ는 오일러-마스케로니 상수이다. 이는 기존 결과를 확장하며, 로그 가중치가 있는 분수부분 적분에 대한 점근 형태를 제공한다.

ABSTRACT

Several second moment and other integral evaluations for the Riemann zeta function $ζ(s)$, Hurwitz zeta function $ζ(s,a)$, and Lerch zeta function $Φ(z,s,a)$ are presented. Additional corollaries that are obtained include previously known special cases for the Riemann zeta function $ζ(s)=ζ(s,1)=Φ(1,s,1)$. An example special case is: $$\int_R {{|ζ(1/2+it)|^2} \over {t^2+1/4}}dt=2π[\ln(2π)-γ],$$ with $γ$ the Euler constant. The asymptotic forms of certain fractional part integrals, with and without logarithmic factors in the integrand, are presented. Extensions and other approaches are mentioned.

연구 동기 및 목표

• 리만, 힐베르트, 레르히 제타 함수의 두 번째 모멘트에 대한 새로운 적분 평가를 유도하기.
• 특히 임계선 ℜ(s) = 1/2와 관련된 리만 제타 함수에 대한 기존 결과를 확장하기.
• 로그 인수를 포함하거나 포함하지 않은 분수부분 적분에 대한 점근 형태를 제공하기.
• 디리클레 L-함수로 결과를 일반화하고, 디감마 함수 및 사이 함수와 같은 특수함수와의 관계를 탐색하기.
• 교번 힐베르트 제타 함수와 레르히 전이함수를 포함하는 새로운 항등식을 수립하기.

제안 방법

• 복소해석학과 적분변환을 활용하여 복소평면 내 수직선을 따라 ζ(s,a), ζ(s), Φ(z,s,a)의 두 번째 모멘트 적분을 평가한다.
• 레르히 제타 함수 Φ(z,s,a)의 함수방정식과 해석적 계속성을 적용하여 적분 항등식을 도출한다.
• 포크하머 기호 (a)ₘ과 힐베르트 제타 함수의 성질을 활용하여 결과를 제타 함수와 다이감마 함수의 형태로 표현한다.
• 디랙 델타 함수와 푸리에 적분 항등식을 활용하여 분수부분을 포함하는 이중 적분을 평가한다.
• 부분분수 분해와 경로적분 기법을 적용하여 삼각함수 및 로그 항을 포함하는 진동적 적분을 평가한다.
• 레마 1과 레마 3을 사용하여 정수 간격에 대한 합계 항등식을 통해 ∫P₁²(x)/x²σ+1 dx 형태의 적분을 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임계선 상에서 두 번째 모멘트 적분 ∫|ζ(1/2+it)|²/(t²+1/4) dt 의 정확한 값은 무엇인가요?
• RQ2 σ > 1 인 경우 힐베르트 제타 함수 ζ(s,a)의 두 번째 모멘트는 제타 함수의 형태로 어떻게 표현될 수 있나요?
• RQ3 적분에 로그 가중치가 포함된 분수부분 적분의 점근적 행동은 무엇인가요?
• RQ4 리만 제타 함수에 대한 결과는 교번 힐베르트 제타 함수와 디리클레 L-함수로 확장될 수 있나요?
• RQ5 |ζ(s)/s|²의 적분과 디감마 함수의 특수값 사이의 연결은 무엇인가요?

주요 결과

• σ > 1 이고 a > 0 인 경우, ∫_{-∞}^{∞} |ζ(s,a)/s|² dt = (π/σ)[2ζ(2σ−1,a) + (1−2a)ζ(2σ,a)]이다.
• a = 1 인 경우 결과는 ∫ |ζ(s)/s|² dt = (π/σ)[2ζ(2σ−1) − ζ(2σ)]로 단순화되며, 이는 부록에서 두 가지 독립적인 방법으로 검증된다.
• 특수한 경우로 ∫ |ζ(1/2+it)|²/(t²+1/4) dt = 2π(ln(2π) − γ) 가 확립되며, 여기서 γ는 오일러-마스케로니 상수이다.
• 교번 힐베르트 제타 함수에 대해서는 ∫ |ζₐ(s,a)/s|² dt = (π/σ)ζₐ(2σ,a)로 표현되며, 이는 이비치(2009)의 정리 1을 복원한다.
• 결론 5는 ∫ |ζₐ(1/2+it,1/2)/(1/2+it)|² dt = π² 라는 닫힌 형태의 결과를 도출한다. 이는 a = 1/2 인 경우에 해당한다.
• φ(x)가 특성함수와 분수부분을 포함하는 이중 적분인 경우, lim_{s→0} s² ∫₁^∞ φ(x)/x^{s+1} dx = 1/4 라는 추측을 제기한다.