[논문 리뷰] Evaluations of nonlinear Euler sums of weight ten

Ce Xu|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 01.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 생성함수와 적분 표현을 사용하여 무게 10인 비선형 오일러 합에 대한 체계적인 평가를 제시하며, 모든 제곱형 오일러 합에 대한 닫힌 형태를 유도하고 다중 리만 제타값과 비선형 오일러 합 사이의 관계를 설정한다. 주요 기여는 이러한 합을 유리수 계수의 제타값 선형 조합, 제타값의 곱, 그리고 기약 합 $ S_{2,6} $와 $ S_{2,8} $로의 완전한 축소이다. 수치적 검증은 마스터너(Mathematica)를 통해 수행되었다.

ABSTRACT

In this paper we present a new family of identities for Euler sums and integrals of polylogarithms by using the methods of generating function and integral representations of series. Then we apply it to obtain the closed forms of all quadratic Euler sums of weight equal to ten. Furthermore, we also establish some relations between multiple zeta (star) values and nonlinear Euler sums. As applications of these relations, we give new closed form representations of several cubic Euler sums through single zeta values and linear sums. Finally, with the help of numerical computations of Mathematica or Maple, we evaluate several other Euler sums of weight ten.

연구 동기 및 목표

• 무게 10인 모든 제곱형 오일러 합에 대한 닫힌 형태 표현을 유도하기 위해.
• 다중 리만 제타(스타)값과 비선형 오일러 합 사이의 관계를 설정하기 위해.
• 삼차 오일러 합을 단일 제타값과 선형 합으로 표현하기 위해.
• 마스터너(Mathematica) 및 매플(MaPle)과 같은 기호 계산 도구를 사용하여 항등식을 수치적으로 검증하기 위해.
• 무게 10인 비교대칭 오일러 합의 축소 가능성에 대한 추측을 제시하고 뒷받침하기 위해.

제안 방법

• 오일러 합과 다이로그함수 적분에 대한 항등식을 도출하기 위해 생성함수 기법을 활용하기 위해.
• 시리즈의 적분 표현을 사용하여 오일러 합과 다중 리만 제타값을 연결하기 위해.
• 잔류값 계산과 경로 적분 방법을 적용하여 비선형 합을 평가하기 위해.
• 고차 무게 합을 $ \zeta(10) $, $ \zeta^2(5) $, $ \zeta(3)\zeta(7) $, $ \zeta(2)\zeta(3)\zeta(5) $, $ \zeta^2(3)\zeta(4) $, $ \zeta(2)S_{2,6} $, 및 $ S_{2,8} $의 조합으로 축소하기 위해.
• 기호 계산 소프트웨어(Mathematica/Maple)를 사용하여 유도된 항등식을 30자리 정밀도로 수치적으로 검증하기 위해.
• 무게 10인 기약 오일러 합의 구조에 대한 추측을 제안하고 검증하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 제곱형 오일러 합 무게 10은 알려진 제타값과 기약 합을 사용하여 닫힌 형태로 표현될 수 있는가?
• RQ2 다중 리만 제타(스타)값과 비선형 오일러 합 무게 10 사이에 어떤 관계가 존재하는가?
• RQ3 삼차 오일러 합 무게 10은 제타값과 $ S_{2,6} $, $ S_{2,8} $의 선형 조합으로 축소될 수 있는가?
• RQ4 모든 비교대칭 오일러 합 무게 10은 유한한 기저 원소 집합으로 축소될 수 있는가?
• RQ5 합 $ \zeta(\overline{2m},2) + 2m\zeta(\overline{2m+1},1) $는 비교대칭 이중 제타값으로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 제곱형 오일러 합 무게 10은 $ \zeta(10) $, $ \zeta^2(5) $, $ \zeta(3)\zeta(7) $, $ \zeta(2)\zeta(3)\zeta(5) $, $ \zeta^2(3)\zeta(4) $, $ \zeta(2)S_{2,6} $, 및 $ S_{2,8} $의 유리수 계수 선형 조합으로 축소 가능하다.
• $ S_{125,2} $의 닫힌 형태는 $ \frac{187}{128}\zeta(10) + \frac{111}{32}\zeta^2(5) + \frac{847}{32}\zeta(3)\zeta(7) - \frac{35}{2}\zeta(2)\zeta(3)\zeta(5) - \frac{7}{4}\zeta^2(3)\zeta(4) + \frac{25}{4}\zeta(2)S_{2,6} - \frac{387}{64}S_{2,8} $로 도출되었다.
• $ S_{{1^4}2,4} $는 $ -\frac{48071}{480}\zeta(10) + \frac{569}{8}\zeta^2(5) + \frac{429}{8}\zeta(3)\zeta(7) + 28\zeta(2)\zeta(3)\zeta(5) - \frac{97}{2}\zeta^2(3)\zeta(4) - 4\zeta(2)S_{2,6} - \frac{225}{16}S_{2,8} $로 평가되었다.
• $ S_{123,4} $는 $ -\frac{2849}{192}\zeta(10) + \frac{59}{8}\zeta^2(5) + \frac{303}{16}\zeta(3)\zeta(7) - 5\zeta(2)\zeta(3)\zeta(5) + \zeta^2(3)\zeta(4) - \frac{7}{4}\zeta(2)S_{2,6} - \frac{51}{16}S_{2,8} $로 표현되었다.
• 수치적 검증을 통해 추측 7.1이 지지됨: 모든 비비교대칭 오일러 합 무게 10은 지정된 기저 원소로 축소 가능하다.
• $ m=1,2,3 $에 대해 합 $ \zeta(\overline{2m},2) + 2m\zeta(\overline{2m+1},1) $는 비비교대칭 이중 제타값으로 표현 가능하며, 명시적인 평가가 제공되었다.