[논문 리뷰] Every NAND formula of size N can be evaluated in time N^{1/2+o(1)} on a quantum computer

Andrew M. Childs, Ben W. Reichardt외 2명|arXiv (Cornell University)|2007. 03. 02.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 15인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 크기가 $N$인 임의의 NAND 공식을 $N^{1/2+o(1)}$ 시간에 평가하는 양자 알고리즘을 제시한다. 이 알고리즘은 공식으로부터 유도된 트리 구조 위에서 수행되는 코인 양자 산책을 사용한다. 알고리즘은 균형 잡힌 또는 약간의 균형이 깨진 공식에 대해 최적의 질의 복잡도 $O(\bar{N})$ 를 달성하며, 양자 질의 복잡도의 제곱이 공식 크기의 하한을 이룬다는 문제를 거의 해결한다.

ABSTRACT

For every NAND formula of size N, there is a bounded-error N^{1/2+o(1)}-time quantum algorithm, based on a coined quantum walk, that evaluates this formula on a black-box input. Balanced, or ``approximately balanced,'' NAND formulas can be evaluated in O(sqrt{N}) queries, which is optimal. It follows that the (2-o(1))-th power of the quantum query complexity is a lower bound on the formula size, almost solving in the positive an open problem posed by Laplante, Lee and Szegedy.

연구 동기 및 목표

• 크기 $N$인 임의의 NAND 공식을 $N$에 대해 비선형 시간 이내로 평가할 수 있는 양자 알고리즘을 개발한다.
• Laplante, Lee, 및 Szegedy 가 제기한 열린 문제, 즉 양자 질의 복잡도의 제곱이 공식 크기의 하한을 이룬다는지 여부를 해결한다.
• 균형 잡힌 이진 트리에서의 양자 산책 기반 평가를 일반화하여 구조적 비대칭성을 가진 임의의 NAND 공식에 적용한다.
• 효율적인 사전처리와 유한 오차를 갖는 $N^{1/2+o(1)}$ 시간 복잡도를 달성한다.
• 공식을 평가하는 데 필요한 양자 질의 복잡도가 최소 $Q_2(f)^{2-o(1)}$ 임을 보여주며, 추측된 하한을 거의 증명한다.

제안 방법

• 알고리즘은 NAND 공식의 트리 표현 위에서 수행되는 코인 양자 산책을 사용하며, 정점은 게이트에 대응하고 잎은 입력 변수에 대응한다.
• 기존의 무작위 산책을 수정하여, 값이 1로 평가되는 잎에 확률 흡수를 도입하고, 공식의 비대칭성에 따라 내부 노드에서 동전 뒤집기의 확률을 조정한다.
• 양자 산책의 유니터리 연산자 $U$ 는 코인 레지스터에서 고르게 분산된 연산자(Grover diffusion operators)를 사용하여 구성되며, 트리의 구조를 따라 일관된 진동을 가능하게 한다.
• 초기 상태의 에너지를 추정하기 위해 산책의 유니터리 연산자에 위상 추정을 적용하여, 공식의 평가 결과가 0 또는 1일 경우를 구분한다.
• Farhi 등이 제시한 해밀토니안의 스펙트럼 분석에 유사한 방법을 사용하며, 비대칭 트리에 대해 대칭 트리로의 변환을 통해 가중치가 부여된 비균형 트리에 적용한다.
• 사전처리 단계에서는 Solovay-Kitaev 정리에 기반하여 근사된 코인 분산 연산자를 계산하고, 이를 고전적 기술로 저장하여 알고리즘 실행 중 일관된 접근을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 크기 $N$ 인 모든 NAND 공식이 양자 컴퓨터에서 $N^{1/2+o(1)}$ 시간에 평가될 수 있는가?
• RQ2 Laplante, Lee, 및 Szegedy 가 추측한 바와 같이, 양자 질의 복잡도의 제곱이 공식 크기의 거의 날카로운 하한이 되는가?
• RQ3 양자 산책 접근법은 비균형 NAND 공식으로 일반화될 수 있으며, 여전히 비제곱 질의 복잡도를 유지하는가?
• RQ4 균형 잡히거나 약간의 균형이 깨진 공식에 대해 알고리즘이 $O(\bar{N})$ 질의 복잡도를 달성하는가?
• RQ5 구조적 입력에 대해 사전처리 단계를 최적화하여 $N^{1/2+o(1)}$ 시간 내에 수행할 수 있는가?

주요 결과

• 크기 $N$ 인 모든 NAND 공식은 양자 컴퓨터에서 $N^{1/2+o(1)}$ 시간과 질의 수로 평가되며, 오차는 $1/3$ 이하이다.
• 균형 잡히거나 약간의 균형이 깨진 NAND 공식에 대해 알고리즘은 $O(\bar{N})$ 질의를 달성하며, 이는 최적이며 양자 질의 복잡도 하한과 정확히 일치한다.
• 임의의 함수 $f$ 의 공식 크기는 $Q_2(f)^{2-o(1)}$ 이상이며, 이는 양자 질의 복잡도의 제곱이 공식 크기의 하한을 이룬다는 열린 문제를 거의 해결한다.
• 알고리즘은 위상 추정을 통한 코인 양자 산책을 사용하며, 산책의 스펙트럼 특성이 공식 출력이 0 또는 1일 경우를 상수 간격으로 구분할 수 있다.
• 유닛리어리 연산자의 효율적인 사전처리 덕분에 시간 복잡도는 질의 수보다 다항로그 크기로 크게 증가한다. 이는 게이트 근사치를 위한 Solovay-Kitaev 정리를 활용한 것이다.
• 가장 비균형적인 공식의 경우, 레이마 10을 통해 재균형을 거쳐 깊이를 $O(\log N)$ 로 줄이고 크기를 $O(N \log N)$ 로 줄여, $O(\sqrt{N})$ 질의 평가가 가능해진다.