[논문 리뷰] Every smooth Jordan curve has an inscribed rectangle with aspect ratio equal to $\sqrt{3}$

Cole Hugelmeyer|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 01.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 4차원 바우만의 모비우스 띠 추론의 일반화를 사용하여 평면 상의 모든 매끄러운 조르당 곡선이 비율 √3인 내접 직사각형을 포함함을 증명한다. C²에 모비우스 띠를 매bedding하고, 특히 T₆,₅ 토러스 뭉치의 비유도 가능한 슬라이스 기하학에 대한 경계를 적용함으로써, 이러한 직사각형이 모든 매끄러운 곡선에 대해 반드시 존재함을 보였다.

ABSTRACT

We use Batson's lower bound on the nonorientable slice genus of $(2n,2n-1)$-torus knots to prove that for any $n \geq 2$, every smooth Jordan curve has an inscribed rectangle of of aspect ratio $ an(\frac{πk}{2n})$ for some $k\in \{1,...,n-1\}$. Setting $n = 3$, we have that every smooth Jordan curve has an inscribed rectangle of aspect ratio $\sqrt{3}$.

연구 동기 및 목표

• 모든 매끄러운 조르당 곡선에 대해 비율 √3인 내접 직사각형이 존재함을 해결하기 위해.
• 바우만의 모비우스 띠 방법을 고차원 매bedding을 통해 내접 직사각형의 비율을 제어할 수 있도록 확장하기 위해.
• 특히 비유도 가능한 4차원 기하학 경계를 포함한 위상수학적 불변량을 적용하여 가능한 내접 직사각형을 제약하기 위해.
• n=3일 때, 비율 tan(πk/6) (k=1,2)는 √3 또는 1/√3의 비율을 가지며, 이는 역수 대칭에 따라 동일한 비율을 나타냄을 보여주기 위해.

제안 방법

• 곡선 γ: S¹ → C를 사용하여 모비우스 띠 M = Sym²(S¹)에서 C²로의 매끄러운 매bedding µ: M → C²를 구성한다.
• µ{tx,yu = ((γ(x)+γ(y))/2, (γ(y)−γ(x))^{2n})를 정의하여 중심점과 복소수 제곱 끈을 인코딩한다.
• dµ의 비퇴화성으로 인해 µ가 매bedding임을 보장하여, µ(M)가 C² 내의 매끄러운 모비우스 띠가 됨을 확보한다.
• µ(M)의 경계가 C×{0} 근처에서 C×S¹ 내의 뭉치 Kn = {(g, g^{2n}) | g ∈ S¹}와 동치임을 분석한다.
• Batson의 비유도 가능한 4차원 기하학에 대한 T_{2n,2n−1} 뭉치에 대한 하한을 적용하여, n≥3일 때 Kn이 C×S¹×R≥0 내에서 모비우스 띠를 경계할 수 없음을 보인다.
• 비율 tan(πk/2n)을 갖는 직사각형이 존재하지 않는다고 가정할 경우 모순을 도출하여, 어떤 k에 대해서도 존재함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 매끄러운 조르당 곡선이 비율 √3인 내접 직사각형을 포함하는가?
• RQ2 내접 정사각형 문제에서 사용된 모비우스 띠 구성 방식을 일반화하여 내접 직사각형의 비율을 제어할 수 있는가?
• RQ3 4차원 다양체에서 어떤 위상수학적 장애물이 모비우스 띠가 특정 뭉치를 경계하는 것을 방해하는가?
• RQ4 토러스 뭇치에 대한 비유도 가능한 4차원 기하학 경계는 내접 직사각형의 존재를 어떻게 제약하는가?
• RQ5 어떤 비율 r에 대해 모든 매끄러운 조르당 곡선이 반드시 비율 r인 내접 직사각형을 포함하는가?

주요 결과

• 모든 매끄러운 조르당 곡선 γ에 대해 비율 √3인 내접 직사각형이 존재한다.
• 이 결과는 비율 √3인 직사각형이 존재하지 않는다고 가정할 경우 T₆,₅ 뭇치의 비유도 가능한 4차원 기하학 경계에 모순이 발생함을 보여 증명된다.
• 모든 n≥2에 대해, k∈{1,…,n−1}이 존재하여 비율 tan(πk/2n)을 갖는 내접 직사각형이 존재함을 증명한다.
• n=3일 때 가능한 비율은 tan(π/6)=1/√3와 tan(2π/6)=√3이며, 비율은 역수 대칭에 따라 동일하므로 둘 다 √3의 비율을 나타낸다.
• 비율 tan(πk/2n)을 갖는 직사각형이 존재하지 않는다고 가정할 경우, C×S¹×R≥0 내에서 Kn을 경계하는 매끄러운 모비우스 띠의 존재가 모순이 되며, 이는 n≥3일 때 Batson의 기하학 경계에 의해 불가능하다.
• 핵심 위상수학적 장애물은 토러스 뭇치 T_{2n,2n−1}의 비유도 가능한 4차원 기하학이 0이 아니며, 최소한 n−1 이상임을 나타낸다.