[논문 리뷰] Evolution of quasi-characteristic functions in quantum stochastic systems with Weyl quantization of energy operators

Igor G. Vladimirov|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 29.

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한 줄 요약

이 논문은 마코비안 허드슨-파르타사라시 퀀텀 스토케스틱 미분 방정식(QSDEs)에 의해 지배되는 마코비안 개방 양자 스토케스틱 시스템에서의 준특성함수(QCFs)의 진화를 와일 양자화 기반 접근법으로 모델링한다. 이는 Wigner-Moyal 위상공간 형식을 일반화하는 적분미분방정식(IDE)을 유도하여 비가우시안 역학과 χ²-다중분산을 통한 불변 상태 분석을 가능하게 하며, 특히 선형 결합과 비제곱형 해밀토니안을 가진 시스템에 대해 유용하다.

ABSTRACT

This paper considers open quantum systems whose dynamic variables satisfy canonical commutation relations and are governed by Markovian Hudson-Parthasarathy quantum stochastic differential equations driven by external bosonic fields. The dependence of the Hamiltonian and the system-field coupling operators on the system variables is represented using the Weyl functional calculus. This leads to an integro-differential equation (IDE) for the evolution of the quasi-characteristic function (QCF) which encodes the dynamics of mixed moments of the system variables. Unlike quantum master equations for reduced density operators, this IDE involves only complex-valued functions on finite-dimensional Euclidean spaces and extends the Wigner-Moyal phase-space approach for quantum stochastic systems. The dynamics of the QCF and the related Wigner quasi-probability density function (QPDF) are discussed in more detail for the case when the coupling operators depend linearly on the system variables and the Hamiltonian has a nonquadratic part represented in the Weyl quantization form. For this class of quantum stochastic systems, we also consider an approximate computation of invariant states and discuss the deviation from Gaussian quantum states in terms of the $χ^2$-divergence (or the second-order Renyi relative entropy) applied to the QPDF. The results of the paper may find applications to investigating different aspects of the moment stability, relaxation dynamics and invariant states in open quantum systems.

연구 동기 및 목표

• 비자명한 시스템-장 결합을 가진 마코비안 QSDEs에 의해 지배되는 개방 양자 스토케스틱 시스템에 대해 Wigner-Moyal 위상공간 접근법을 확장하기 위해.
• 시스템 변수의 모든 혼합모멘트를 포함하는 준특성함수(QCF)의 진화를 기술하는 선형 적분미분방정식(IDE)을 유도하기 위해.
• 선형 결합과 비제곱형 해밀토니안을 가진 시스템에서 준확률밀도함수(QPDF)의 진동을 분석하여 비가우시안 특성을 포착하기 위해.
• QPDF의 비가우시안성과의 편차를 χ²-다중분산을 통해 정량화하고, 불변 상태의 근사 계산을 위한 프레임워크를 제공하기 위해.
• QCF 진화와 위상공간 표현에서의 고전적 포켈-플랑크-코모고로프 방정식 사이의 연결을 수립하며, 비제곱형 해밀토니안의 경우에 Moyal 보정 항을 포함하기 위해.

제안 방법

• 비가환 연산자의 대칭 순서를 보장하기 위해, 해밀토니안과 시스템-장 결합 연산자를 와일 양자화 형태로 표현하기 위해 와일 함수해석학을 활용한다.
• 허드슨-파르타사라시 체계의 QSDEs에 와일 변환를 적용하여 준특성함수(QCF)의 진화를 기술하는 선형 적분미분방정식(IDE)을 도출한다.
• QCF 진화를 관련된 QPDF에 대한 IDE로 변환하며, 이는 조화 진동자에 대해 고전적 포켈-플랑크 방정식으로 축소되며, 비제곱형 해밀토니안의 경우 Moyal 항을 포함한다.
• QPDF와 가우시안 기준 간의 χ²-다중분산(두 번째 순서 Renyi 상대 엔트로피)을 적용하여 비가우시안성을 정량화하고, 불변 상태 수렴성을 평가한다.
• χ²-다중분산의 총 시간 도함수를 사용하여 소산 관계를 유도하며, 수렴 속도와 시스템의 동역학 및 결합 구조 간의 연결을 맺는다.
• QPDF의 부드러움 기반 분석을 통해 소산 관계의 내적 항에 대한 비자명한 경계를 도출하며, 비유계 커널 성장으로 인해 표준 코시-슈바르츠 추정이 실패하는 문제를 해결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비제곱형 해밀토니안과 선형 시스템-장 결합을 가진 개방 양자 시스템에서 와일 양자화를 통해 준특성함수(QCF)를 어떻게 진화시킬 수 있는가?
• RQ2 이러한 시스템에서 QCF 진화를 지배하는 적분미분방정식(IDE)의 구조는 어떻게 되며, 고전적 포켈-플랑크-코모고로프 방정식을 어떻게 일반화하는가?
• RQ3 비제곱형 해밀토니안 항의 포함이 QPDF 진동에 어떤 영향을 미치며, Moyal 항은 비가우시안 특성을 유도하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 χ²-다중분산을 사용하여 QPDF가 가우시안 기준 상태에서의 편차를 정량화할 수 있으며, 그 시간 도함수는 이완 역학에 대해 무엇을 드러내는가?
• RQ5 이러한 개방 양자 시스템에서 불변 상태의 존재성과 안정성을 보장하는 조건은 무엇이며, QPDF 프레임워크를 통해 어떻게 근사 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 비가환 연산자 간의 캐논리컬 교환관계를 가진 개방 양자 시스템에서 시스템 변수의 모멘트 역학을 완전히 포함하는 선형 적분미분방정식(IDE)이 QCF의 진화에 대해 명시적으로 도출되었다.
• QPDF 진동은 조화 진동자에 대해 고전적 포켈-플랑크-코모고로프 방정식으로 축소되는 IDE로 지배되며, 비제곱형 해밀토니안의 경우 Moyal 항을 포함하여 비가우시안 역학과 음수 QPDF 값을 유도한다.
• QPDF와 가우시안 기준 상태 간의 χ²-다중분산의 총 시간 도함수는 결합 행렬을 포함하는 정정의 항과 음수 적분 항의 합으로 표현되며, 이는 소산과 불변 상태 수렴 가능성의 가능성을 시사한다.
• χ²-다중분산은 비가우시안성의 정량적 측도를 제공하며, 이의 진동은 시스템 결합에서 기인하는 구동 항과 QPDF의 구조에서 기인하는 감쇠 항 간의 균형에 의해 지배된다.
• QPDF의 부드러움 분석을 통해 소산 관계의 내적 항에 대한 비자명한 경계를 도출하였으며, 이는 비유계 커널 성장으로 인해 표준 코시-슈바르츠 추정이 실패하는 문제를 해결한다.
• 이 프레임워크는 가우시안형 잠재력이 존재하는 상황에서 불변 QPDF의 근사 계산을 가능하게 하며, 개방 양자 시스템의 이완 역학과 안정성 분석을 위한 위상공간 표현을 제공한다.