[논문 리뷰] Exact asymptotics for the instant of crossing a curve boundary by an asymptotically stable random walk

Denis Denisov, Vitali Wachtel|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 24.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 시간에 따라 변화하는 경계 −g(n)를 초과하는 점근적 안정적인 랜덤 워크의 첫 번째 통과 시간 T_g에 대해 尾확률 P(T_g > n)의 정확한 渐近 표현식을 수립한다. 재생 함수 h와 스케일링 함수 c(n)를 포함하는 새로운 적분 조건을 도입하여, 이전 결과보다 더 약한 조건 하에서도 P(T_g > n) ∼ V(g)P(T_0 > n)가 성립함을 보이며, V(g)가 유한해지기 위한 조건은 ∫ h(g(x))/(x h(c(x))) dx < ∞ 이다.

ABSTRACT

Suppose that $\{S_n,\ n\geq0\}$ is an asymptotically stable random walk. Let $g$ be a positive function and $T_g$ be the first time when $S_n$ leaves $[-g(n),\infty)$. In this paper we study asymptotic behaviour of $T_g$. We provide integral tests for function $g$ that guarantee $P(T_g&gt;n)\sim V(g)P(T_0&gt;n)$ where $T_0$ is the first strict descending ladder epoch of $\{S_n\}$

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변화하는 경계를 통과하는 랜덤 워크의 첫 번째 통과 시간에 대한 기존 渐近 결과를 보완하여, 특히 경계가 시간에 따라 증가하는 경우에 대해 개선한다.
• 이전 연구에서 요구하던 모멘트 조건(E[g(T_0)] < ∞ 등)을 약화시켜 P(T_g > n)와 P(T_0 > n) 사이의 정확한 渐近 동치성을 확보할 수 있도록 한다.
• 점근적 안정적인 랜덤 워크에 대해 P(T_g > n) ∼ V(g)P(T_0 > n)의 渐近 동치성을 보장하는 새로운 적분 테스트 조건을 수립한다.
• 그린우드와 노빅프의 결과를 일반화하여, g에 대한 볼록성 및 모멘트 조건을 h(g(x))에 대한 하향성 및 적분 가능성 조건으로 대체한다.

제안 방법

• 특성 지수 α ∈ (0,2)와 비대칭성 β를 갖는 안정 분포로 수렴하는 점근적 안정적인 랜덤 워크 S_n의 새로운 클래스를 도입한다.
• строго 내림차순 래더 높이 과정과 관련된 재생 함수 h(x)를 사용하여 P(T_0 > n) ∼ n^{ρ−1}L(n)의 점근적 행동을 특성화한다.
• E[h(g(T_0))] < ∞ 이고 h(g(x))가 하향성일 경우, P(T_g > n) ∼ V(g)P(T_0 > n) 가 성립함을 증명하며, 여기서 V(g)는 g에 따라 정의되는 유한한 상수이다.
• 적분 조건 ∫₁^∞ h(g(x))/(x h(c(x))) dx < ∞ 가 점근적 동치성에 충분함을 도출하며, 여기서 c(x)는 랜덤 워크의 스케일링 함수이다.
• 초과마팅갈레 h(S_n − g(n))1{T_g > n}에 대해 선택 정지 정리를 적용하여 尾확률의 행동을 제어하고 경계를 유도한다.
• 정지 시간 ν_n ≈ δ_n n을 사용한 커플링 및 커플링 유형의 추론을 통해 워크의 행동을 국소화하고 국소 근사 정리 적용.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점근적 안정적인 랜덤 워크가 증가하는 경계 −g(n)를 통과하는 첫 번째 통과 시간 T_g에 대해 어떤 조건 하에서 P(T_g > n) ∼ V(g)P(T_0 > n) 가 성립하며, 이때 V(g)는 유한한가?
• RQ2 이전 결과에서 요구하던 E[g(T_0)] < ∞ 의 적분 조건을 동일한 점근적 동치성을 보장하는 더 약한 조건으로 대체할 수 있는가?
• RQ3 h(g(x))의 하향성 조건이 첫 번째 통과 시간 분포의 점근적 동치성에 미치는 정확한 역할은 무엇인가?
• RQ4 g(n)의 성장률이 P(T_g > n)의 점근적 행동에 미치는 영향은 무엇인가, 특히 g(n)이 n^{1/α}보다 더 빠르게 증가할 경우 어떻게 되는가?
• RQ5 점근적 안정적인 랜덤 워크에 대해 P(T_g > n) ∼ V(g)P(T_0 > n) 의 점근적 동치성을 보장하는 정확한 적분 조건은 무엇인가?

주요 결과

• E[h(g(T_0))] < ∞ 이고 h(g(x))가 하향성일 경우, P(T_g > n) ∼ V(g)P(T_0 > n) 가 성립하며, V(g) ∈ (0, ∞) 이며, 이는 이전 결과를 일반화한다.
• 조건 ∫₁^∞ h(g(x))/(x h(c(x))) dx < ∞ 는 점근적 동치성에 충분하며, h가 지수 −α(1−ρ)를 갖는 정규적으로 변화하는 경우, 이 조건은 E[g(T_0)] < ∞ 보다 엄밀히 더 약한 조건이다.
• g(x) = x^γ 이고 γ < min{1, 1/α} 일 경우, 점근적 동치성이 성립하며, 이는 이전의 비선형 경계에 대한 결과를 확장한다.
• g(x) ∼ c(x) 일 경우, ∫ h(g(x))/(x h(c(x))) dx < ∞ 는 점근적 동치성에 필수적이고 충분한 조건이다.
• g(x)가 γ < 1/α 인 모든 거듭제곱 x^γ 보다 더 빠르게 증가하더라도, 적분 조건을 만족하면 결과가 성립한다.
• 증명은 정지 시간 ν_n ≈ δ_n n 과 초과마팅갈레 h(S_n − g(n))1{T_g > n} 에 대한 선택 정지를 사용한 커플링 추론을 통해 이루어지며, 이는 尾확률에 대한 정밀한 경계를 이끈다.