[논문 리뷰] Exact bounds for dynamical critical exponents of transverse-field Ising chains with a correlated disorder

Tatsuhiko Shirai, Shu Tanaka|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 15.

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한 줄 요약

이 논문은 이 dimensional 전치자장 이징 체인에서 상관된 불순성을 가진 경우, 전치자장 $ \Gamma_i $ 가 인접한 결합 강도 $ J_{i-1} $ 와 $ J_i $ 에 따라 달라지는 경우의 동역학적 임계지수 $ z $ 의 정확한 경계를 해석적으로 유도한다. 비상관 불순성의 경우 $ z = \infty $ 이지만, 상관 불순성의 경우 유한한 $ z $ 를 갖는다. 약한 불순성 영역에서는 $ z = 1 $ 이며, 강한 불순성 영역에서는 조정 매개변수 $ s $ 에 따라 $ \max\left(D\left(\frac{1}{2} + |s - \frac{1}{2}|\right) + \frac{1}{2}, 1\right) \leq z \leq D + 1 $ 로 경계된다. 수치 결과는 $ z $ 가 조정 과정에 의존함을 확인하여 비상관 경우와 구별된다.

ABSTRACT

This study investigates the dynamical critical exponent of disordered Ising chains under transverse fields to examine the effect of a correlated disorder on quantum phase transitions. The correlated disorder, where the on-site transverse field depends on the nearest-neighbor coupling strengths connecting the site, gives a qualitatively different result from the uncorrelated disorder. In the uncorrelated disorder cases where the transverse field is either homogeneous over sites or random independently of the nearest-neighbor coupling strengths, the dynamical critical exponent is infinite. In contrast, in the presence of the correlated disorder, we analytically show that the dynamical critical exponent is finite. We also show that the dynamical critical exponent depends on the tuning process of the transverse field strengths.

연구 동기 및 목표

• 상하이한 결합 강도에 따라 전치자장이 의존하는 상관 불순성의 영향을 일차원 이징 체인의 양자상전이에 대해 연구하는 것.
• 비상관 불순성에서처럼 $ z = \infty $ 여부가 유지되는지, 아니면 상관에 의해 유도된 불순성으로 인해 $ z $ 가 유한해지는지 확인하는 것.
• 약한 및 강한 불순성 영역에서 $ z $ 의 정확한 경계를 해석적으로 유도하고, 전치자장 조정 과정에 대한 의존성을 분석하는 것.
• 비상관 불순성 모델과 대조하여 $ z = \infty $ 인 경우와 비교하고, 상관성이 임계 행동을 어떻게 변화시키는지 명확히 하는 것.

제안 방법

• 스핀 해밀토니안을 2차 페르미온 해밀토니안으로 매핑하기 위해 조던-바이거 변환을 사용하여 바골리브 변환을 통해 정확한 대각화를 가능하게 한다.
• 에너지 갭 $ \Delta = \Lambda_1 $, 즉 최소 준에너지가 $ \Delta \sim \xi^{-z} $ 를 통해 $ z $ 를 결정하는 특징 에너지 척도로 사용되며, 여기서 $ \xi $ 는 상관 길이다.
• 약한 불순성의 경우, 결합 강도 $ J_i $ 는 $ (J^{(0)}, 1] $ 에 균일하게 분포하며 $ J^{(0)} > 0 $ 이다. 전치자장은 $ \Gamma_i = s \cdot \text{mean}(J_{i-1}, J_i) $ 를 통해 조정되며, $ s \in [0,1] $ 이다.
• 강한 불순성의 경우, $ J_i $ 는 거듭제곱 법 분포 $ \rho(J) \propto J^{-D} $ 에서 추출되며, $ \Gamma_i $ 도 마찬가지로 $ s $ 를 통해 조정되며, $ D $ 는 불순성 강도를 제어한다.
• 변환된 해밀토니안 행렬 $ M = (A - B)(A + B) $ 의 고유값 분석을 통해 $ z $ 의 해석적 경계를 도출하고, 갭 $ \Lambda_1 $ 은 최소 고유값으로 계산된다.
• 정확한 대각화를 사용한 수치 시뮬레이션은 특히 강한 불순성 영역에서 해석적 경계를 검증하며, 상관 함수를 피팅하여 $ \xi $ 와 $ \bar{\xi} $ 를 추출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전치자장 $ \Gamma_i $ 가 $ J_{i-1} $ 와 $ J_i $ 에 따라 의존하는 상관 불순성이 비상관 경우와 달리, 동역학적 임계지수 $ z $ 가 유한해지는가?
• RQ2 전치자장의 강도를 특징짓는 매개변수 $ D $ 를 통해 $ J_i $ 의 거듭제곱 법 분포에서 $ z $ 의 값은 어떻게 달라지는가?
• RQ3 전치자장의 조정 과정(매개변수 $ s $ 를 통해)이 $ z $ 의 값에 영향을 미치는가, 만약 그렇다면 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 비상관 불순성의 경우 $ \nu \neq \bar{\nu} $ 인 것과는 달리, 상관 불순성의 경우 평균 및 일반적인 상관 길이 $ \xi $ 와 $ \bar{\xi} $ 가 동일한가?
• RQ5 이 상관 불순성 모델에서 약한 및 강한 불순성 영역 모두에서 $ z $ 의 정확한 해석적 경계를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 약한 불순성 영역에서 $ J_i \in (J^{(0)}, 1] $ 이며 $ J^{(0)} > 0 $ 이면, 동역학적 임계지수는 조정 매개변수 $ s $ 와 무관하게 정확히 $ z = 1 $ 이다.
• 거듭제곱 법 분포 $ J_i \sim J^{-D} $ 를 가진 강한 불순성 영역에서는 동역학적 임계지수가 $ \max\left(D\left(\frac{1}{2} + |s - \frac{1}{2}|\right) + \frac{1}{2}, 1\right) \leq z \leq D + 1 $ 를 만족하며, $ s $ 와 $ D $ 에 명시적인 의존성을 보인다.
• 수치 분석은 $ z $ 가 조정 과정에 따라 달라짐을 확인하며, 다양한 $ s $ 값이 다른 $ z $ 를 유도함으로써 비일관된 임계 행동을 나타낸다.
• 강한 불순성 영역에서 평균 및 일반적인 상관 길이 $ \xi $ 와 $ \bar{\xi} $ 는 일치하며, $ \nu = \bar{\nu} = 1 $ 이다. 이는 비상관 불순성의 경우 $ \nu = 2 $, $ \bar{\nu} = 1 $ 이었던 것과 대조된다.
• 결과는 상관 불순성이 임계 행동을 정성적으로 변화시켜 $ z $ 가 유한해지게 하며, 반면 비상관 불순성의 경우 그리피스-맥코이 특이성으로 인해 $ z = \infty $ 가 된다는 것을 보여준다.
• 본 연구는 이 상관 불순성 모델에서 $ z $ 의 정확한 경계를 해석적으로 유도한 최초의 연구로, 이전의 수치 연구와 구별된다.