[논문 리뷰] Exact computation of joint spectral characteristics of linear operators

Nicola Guglielmi, Vladimir Yu. Protasov|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 19.

Matrix Theory and Algorithms인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 극한 노름과 반노름을 사용하여 유한한 행렬 집합의 공동 스펙트럴 반경(JSR)과 하부 스펙트럴 반경(LSR)을 계산하는 최초의 정확한 알고리즘을 제시한다. 방법은 반복적인 정점 생성을 통해 다면체 노름을 구성하며, 적절한 조건 하에서 유한 시간 내 수렴을 이룩하고, 수렴이 즉각적이지 않은 경우에도 날카운 경계를 제공한다.

ABSTRACT

We address the problem of the exact computation of two joint spectral characteristics of a family of linear operators, the joint spectral radius (in short JSR) and the lower spectral radius (in short LSR), which are well-known different generalizations to a set of operators of the usual spectral radius of a linear operator. In this article we develop a method which - under suitable assumptions - allows to compute the JSR and the LSR of a finite family of matrices exactly. We remark that so far no algorithm was available in the literature to compute the LSR exactly. The paper presents necessary theoretical results on extremal norms (and on extremal antinorms) of linear operators, which constitute the basic tools of our procedures, and a detailed description of the corresponding algorithms for the computation of the JSR and LSR (the last one restricted to families sharing an invariant cone). The algorithms are easily implemented and their descriptions are short. If the algorithms terminate in finite time, then they construct an extremal norm (in the JSR case) or antinorm (in the LSR case) and find their exact values; otherwise they provide upper and lower bounds that both converge to the exact values. A theoretical criterion for termination in finite time is also derived. According to numerical experiments, the algorithm for the JSR finds the exact value for the vast majority of matrix families in dimensions less than 20. For nonnegative matrices it works faster and finds JSR in dimensions of order 100 within a few iterations; the same is observed for the algorithm computing the LSR. To illustrate the efficiency of the new method we are able to apply it in order to give answers to several conjectures which have been recently stated in combinatorics, number theory, and the theory of formal languages.

연구 동기 및 목표

• 문헌에서 이전에 정확한 계산 방법이 없었던 하부 스펙트럴 반경(LSR)을 계산하는 최초의 정확한 알고리즘을 개발하는 것.
• 유한한 행렬 집합에 대한 공동 스펙트럴 반경(JSR)의 정확한 계산을 가능하게 하기 위해 극한 노름 이론을 확장하는 것.
• 공동 스펙트럴 반경(JSR)을 위한 극한 노름과 하부 스펙트럴 반경(LSR)을 위한 극한 반노름을 다면체의 반복적 정점 생성을 통해 효율적으로 구성하는 방법을 제공하는 것.
• 알고리즘이 유한 시간 내에 종료되는 이론적 조건을 확립하여 정확한 계산을 보장하는 것.
• 조합론, 수론, 형식 언어 분야의 열린 추측을 해결하기 위해 방법을 적용하여 실용적 유용성을 입증하는 것.

제안 방법

• 초기 벡터에 행렬 작용을 반복적으로 적용하여 다면체의 정점을 생성함으로써, 공동 스펙트럴 반경(JSR)을 위한 극한 노름 또는 하부 스펙트럴 반경(LSR)을 위한 극한 반노름을 구성하는 방법.
• 공동 스펙트럴 반경과 관련하여, 행렬 집합의 작용에 대해 스케일링 인자로 JSR와 일치하는 상수 배수로 불변인 노름 개념을 사용.
• 하부 스펙트럴 반경을 위해, 공통의 불변 코너를 공유하는 행렬 집합에 대해, 스펙트럴 반경의 하한을 제공하는 하부곱성(submultiplicative)이고 불변인 극한 반노름을 적용.
• 행렬을 현재 정점에 작용시켜 새로운 정점을 추가함으로써 다면체의 시퀀스를 생성하고, 극한 노름 또는 반노름의 근사치를 개선.
• 각 반복 단계에서 공동 스펙트럴 반경과 하부 스펙트럴 반경에 대한 상한과 하한을 갱신하고, 이 값들이 정확한 값으로 수렴함을 모니터링.
• 행렬 작용 하에서 유한한 불변 다면체가 존재하는 조건에 기반한 유한 시간 종료를 위한 이론적 기준을 도출.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이전에 정확한 알고리즘이 없었던 유한한 행렬 집합의 하부 스펙트럴 반경(LSR)을 정확하게 계산할 수 있는가?
• RQ2 극한 노름 또는 반노름의 반복적 구성이 어떤 조건에서 유한 시간 내에 종료되는가?
• RQ3 고차원 행렬 집합에 대해 극한 노름과 반노름을 효과적으로 구성하여 공동 스펙트럴 반경(JSR)과 하부 스펙트럴 반경(LSR)을 계산할 수 있는가?
• RQ4 제안된 방법이 조합론, 수론, 형식 언어 분야에서 스펙트럴 반경을 포함한 열린 추측을 해결할 수 있는가?
• RQ5 특히 비음수 행렬과 고차원에서 실용적으로 알고리즘의 계산 효율성은 어떠한가?

주요 결과

• 차원이 20 이하인 대부분의 행렬 집합에 대해 공동 스펙트럴 반경(JSR)을 정확히 계산할 수 있다.
• 비음수 행렬의 경우, JSR 계산이 매우 빠르게 수렴하여 차원이 100에 이르는 경우에도 몇 번의 반복 내에 정확한 결과를 도출한다.
• 공통의 불변 코너를 공유하는 집합의 경우 LSR 계산은 정확하며, 유한 수렴이 이루어지지 않을 경우에도 날카운 상한과 하한을 제공한다.
• 조합론, 수론, 형식 언어 분야에서의 여러 열린 추측을 정확한 스펙트럴 반경 값 제공을 통해 성공적으로 해결하였다.
• 유한 시간 종료를 위한 이론적 조건을 도출하였고, 수치 실험을 통해 상한과 하한이 정확한 JSR 및 LSR 값으로 수렴하는 것으로 확인하였다.
• 특정 행렬 곱의 스펙트럴 반경의 11제곱근으로 정확한 JSR를 확인하기 위해, 행렬 쌍에 대한 극한 무한 다면체의 구성이 성공하였다.