[논문 리뷰] Exact distribution of the sample variance from a gamma parent distribution

Thomas Royen|ArXiv.org|2007. 04. 11.

Advanced Statistical Process Monitoring참고 문헌 9인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 급수 전개와 수직 함수 표현을 사용하여 감마 분포에서 유도된 표본 분산의 정확한 누적분포함수(cdf)를 유도한다. 계산적으로 효율적인 이중 급수 방법(정리 4.1)과 정수 형태 매개변수에 대해 거의 정확한 감마 혼합 표현(정리 4.2)을 제공하여 몬테카를로 시뮬레이션 없이도 고정밀도 수치 평가가 가능하다.

ABSTRACT

Several representations of the exact cdf of the sum of squares of n independent gamma-distributed random variables Xi are given, in particular by a series of gamma distribution functions. Using a characterization of the gamma distribution by Laha, an expansion of the exact distribution of the sample variance is derived by a Taylor series approach with the former distribution as its leading term. In particular for integer orders alpha some further series are provided, including a convex combination of gamma distributions for alpha = 1 and nearly of this type for alpha > 1. Furthermore, some representations of the distribution of the angle Phi between (X1,...,Xn) and (1,...,1) are given by orthogonal series. All these series are based on the same sequence of easily computed moments of cos(Phi).

연구 동기 및 목표

• 모집단이 감마 분포를 따를 때 표본 분산의 정확한 분포를 유도하는 것.
• 통계적 추론에 활용 가능한 계산적으로 효율적이고 수치적으로 정확한 표본 분산의 cdf 표현을 제공하는 것.
• 정규분포 및 지수분포의 경우를 초월하여 감마 분포 자료에 대해 정확한 해석적 형태를 제공함으로써 기존 결과를 확장하는 것.
• 몬테카를로 시뮬레이션을 피하고 급수 전개 및 수직 함수 분해를 통해 cdf의 정밀한 평가를 가능하게 하는 것.
• 비정규 분산 분석에서 기존 근사치의 정확도를 평가하는 데 필요한 이론적 및 실용적 도구를 제공하는 것.

제안 방법

• 표본 분산의 분포와 관련된 $ Z = \sum X_i^2 $ 의 cdf 를 유도하기 위해 $ h^{*}_{\alpha,n}(r) = r^{-\alpha n} H_{\alpha,n}(r) $ 의 라플라스 변환을 사용하며, 이는 $ U = \sqrt{Z/Y^2} $ 의 분포와 연결된다.
• 라하의 정리에 기반한 감마 분포의 특성화를 통해 표본 분산의 분포를 데이터 벡터와 일의 벡터 사이의 각도 $ \Phi $ 를 통해 표현한다.
• $ \vartheta/n $ 근처에서의 타일러 급수 전개를 적용하여 $ \cos\Phi $ 의 모멘트를 포함하는 이중 급수 형태로 cdf 를 표현함으로써 정리 4.1을 도출한다.
• $ \tan\Phi $ 의 분포를 $ [0, \varphi_n] $ 에서 다항식 근사로 표현함으로써 정수 $ \alpha $ 에 대해 거의 정확한 감마 혼합 표현을 가능하게 하며, 이는 정리 4.2에 기반한다.
• 계산 가능한 $ \cos\Phi $ 의 모멘트를 바탕으로 레지오드 다항식과 코시 sine 급수를 사용한 수직 급수 전개를 통해 $ \Phi $ 의 분포를 표현한다.
• 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 최소 8자리 정확도를 확보한 표의 수치 계산을 통해 방법의 타당성을 검증하였으며, 높은 정확도와 빠른 수렴 속도를 입증하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모집단 분포가 감마분포일 때 표본 분산의 누적분포함수의 정확한 해석적 형태는 무엇인가요?
• RQ2 데이터 벡터와 일의 벡터 사이의 각도 $ \Phi $ 를 기반으로 한 급수 전개를 통해 표본 분산의 분포는 어떻게 표현할 수 있나요?
• RQ3 특히 정수 형태 매개변수 $ \alpha $ 에 대해 표본 분산의 cdf 를 감마 분포의 확률 혼합으로 구성할 수 있나요?
• RQ4 제안된 급수 표현의 정확도와 계산 효율성은 몬테카를로 시뮬레이션과 비교하여 어떻게 평가될 수 있나요?
• RQ5 $ \cos\Phi $ 와 $ \cot\Phi $ 의 모멘트는 어떻게 수직 및 거듭제곱 급수 표현의 cdf 구성에 기여합니까?

주요 결과

• 정확한 표본 분산의 cdf 는 이중 급수 표현(정리 4.1)을 통해 유도되었으며, 이는 최소 8자리 유의 숫자까지 수치적으로 안정적이고 정확하다.
• 지수 분포의 경우($ \alpha = 1 $), 표본 분산의 cdf 는 정확히 감마 분포의 볼록 조합으로 표현된다.
• 정수 $ \alpha > 1 $ 에 대해 cdf 는 거의 감마 혼합 분포로 표현되며, 정리 4.2 에서는 교대 급수 형태의 다항식 표현이 제시된다.
• 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 수렴이 보장되는 $ O(\vartheta^j j^{-(n+1)/2}) $ 의 급수 항 감쇠 특성을 활용해 고정밀도 cdf 계산이 가능하다.
• $ \tan\Phi $ 의 분포는 $ [0, \varphi_n] $ 에서 다항식으로 근사되었으며, 이는 정수 $ \alpha $ 에 대해 거의 정확한 혼합 표현 유도를 가능하게 하였다.
• 급수 표현은 계산 가능한 $ \cos\Phi $ 의 모멘트를 기반으로 하며, 레지오드 다항식과 코시 sine 급수를 사용한 수직 전개를 통해 $ \Phi $ 의 분포가 유도되었다.