[논문 리뷰] Exact duals and short certificates of infeasibility and weak infeasibility in conic linear programming

Minghui Liu, Gábor Pataki|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 01.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 콘릭 라인어 프로그래밍(CLPs)에 대해 정확한 이중 문제와 비가역성 및 약한 비가역성에 대한 짧은 증명을 제안하며, 기존의 정규화된 라그랑주 이중 문제의 한계를 극복한다. 이중 문제의 최적값이 도달하지 못하거나 이중성 갭이 발생할 수 있는 표준 라그랑주 이중 문제의 문제점을 해결한다. 저자들은 얼굴 감소(facial reduction)와 기본 행 연산을 기반으로 새로운 정확한 이중 문제와 비가역성 증명을 제시하며, 제약 조건의 필요 조건 없이도 작동하는 통합 프레임워크를 제공함으로써 CLPs에서의 비가역성과 약한 비가역성의 알고리즘적 검증을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In conic linear programming -- in contrast to linear programming -- the Lagrange dual is not an exact dual: it may not attain its optimal value, or there may be a positive duality gap. The corresponding Farkas' lemma is also not exact (it does not always prove infeasibility). We describe exact duals, and certificates of infeasibility and weak infeasibility for conic LPs which are nearly as simple as the Lagrange dual, but do not rely on any constraint qualification. Some of our exact duals generalize the SDP duals of Ramana, and Klep and Schweighofer to the context of general conic LPs. Some of our infeasibility certificates generalize the row echelon form of a linear system of equations: they consist of a small, trivially infeasible subsystem obtained by elementary row operations. We prove analogous results for weakly infeasible systems. We obtain some fundamental geometric corollaries: an exact characterization of when the linear image of a closed convex cone is closed, and an exact characterization of nice cones. Our infeasibility certificates provide algorithms to generate {\em all} infeasible conic LPs over several important classes of cones; and {\em all} weakly infeasible SDPs in a natural class. Using these algorithms we generate a public domain library of infeasible and weakly infeasible SDPs. The status of our instances can be verified by inspection in exact arithmetic, but they turn out to be challenging for commercial and research codes.

연구 동기 및 목표

• 콘릭 라인어 프로그래밍에서 표준 이중성의 실패 문제를 해결하기 위해, 라그랑주 이중 문제의 최적값이 도달하지 못하거나 이중성 갭이 발생할 수 있는 문제를 해결한다.
• 제약 조건의 필요 조건 없이도 항상 최적값을 도달하고 원래 문제의 최적값과 일치하는 정확한 이중 문제를 개발한다.
• 콘릭 LP에 대해 짧고 검증 가능한 비가역성 및 약한 비가역성 증명을 구성하며, 선형 시스템의 행 기수형태(row echelon form)에 유사한 방식을 취한다.
• 기존의 정규화된 SDP 결과를 일반화하고 일반 콘릭 LP에까지 확장하는 통합 프레임워크를 제공한다.
• 테스트 및 벤치마킹을 위해 솔버를 평가하기 위해 알고리즘적으로 비가역성과 약한 비가역성을 가진 SDP를 체계적으로 생성할 수 있도록 한다.

제안 방법

• 얼굴 감소를 이용해 콘릭 LP에 대한 정확한 이중 문제를 도입하며, 이는 강력한 이중성을 복원하기 위해 부차적인 제약 조건을 체계적으로 식별하고 제거한다.
• 기본 행 연산을 기반으로 한 비가역성 증명을 개발하여, 시스템을 자명하게 비가역적인 부분계로 변환함으로써, 선형 시스템의 행 기수형태에 유사한 방식을 취한다.
• 얼굴 감소의 개념을 활용해 선형 사상 하에서 닫힌 볼록 콘의 선형 영상이 닫혀 있는지의 조건을 기하학적으로 기반으로 설명한다.
• SDP에 대한 라마나의 확장 이중 문제를 일반 콘릭 LP로 일반화하여, 제약 조건의 필요 조건 없이도 정확한 이중성을 보장한다.
• 이론을 적용해 자연스러운 클래스에 속하는 모든 비가역성과 약한 비가역성을 가진 SDP를 생성하는 알고리즘 절차를 개발한다.
• 정확한 산술 검증을 활용해 생성된 인스턴스의 상태를 검증함으로써, 벤치마킹 목적에 적합한 정확성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 콘릭 라인어 프로그래밍에 대해 항상 최적값을 도달하고 원래 문제의 최적값과 일치하는 정확한 이중 문제를 구성할 수 있는가?
• RQ2 제약 조건의 필요 조건에 의존하지 않는 짧고 검증 가능한 비가역성 증명을 콘릭 LP에 대해 개발할 수 있는가?
• RQ3 얼굴 감소를 어떻게 활용하여 닫힌 볼록 콘의 선형 사상 하에서의 닫힘 조건을 기하학적으로 기술할 수 있는가?
• RQ4 약한 비가역성과 콘 및 그 이중의 면의 기하학적 구조 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ5 알고리즘적 방법을 통해 비가역성과 약한 비가역성을 가진 SDP를 시스템적으로 생성하여 솔버 테스트에 활용할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 표준 라그랑주 이중 문제의 실패가 발생하더라도 항상 최적값을 도달하고 원래 문제의 최적값과 일치하는 정확한 이중 문제를 구성한다. 이 이중 문제들은 약한 이중성도 만족한다.
• 알고리즘적으로 검증 가능한 짧은 비가역성 증명을 제공하며, 선형 시스템의 행 기수형태를 콘릭 프로그래밍으로 일반화한다.
• 선형 사상 하에서 닫힌 볼록 콘의 선형 영상이 닫혀 있는지의 정확한 조건을 기하학적으로 기술함으로써 근본적인 기하학적 질문을 해결한다.
• ‘좋은’ 콘(cone)의 완전한 특성화를 제공하며, 이는 모든 선형 사상 하에서 콘의 선형 영상이 닫혀 있는 콘을 의미한다.
• 공개 라이브러리로 비가역성과 약한 비가역성을 가진 SDP를 생성할 수 있는 프레임워크를 제공한다. 이는 정확한 산술 연산으로는 쉽게 검증 가능하지만, 상용 및 연구용 솔버에선 도전적인 문제들이다.
• 기존의 SDP에 대한 확장 이중 문제 결과를 일반 콘릭 LP로 일반화하여, 얼굴 감소와 확장 이중성 기반의 기존 접근법을 통합하고 단순화한다.