[논문 리뷰] Exact imposition of boundary conditions with distance functions in physics-informed deep neural networks

N. Sukumar, Ankit Srivastava|arXiv (Cornell University)|2021. 04. 17.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 119인용 수 316

한 줄 요약

이 논문은 R-함수와 평균 값 잠재력에서 유도된 근사 거리 함수를 사용하여 딜리클레, 뉴먼, 루빈 경계 조건을 정확히 구현하는 물리 기반 딥 네ural 네트워크 방법을 제안한다. 이 기하학적 인식 함수들을 네트워크의 시도 해석에 통합함으로써 경계 조건 오차를 제거하고, 훈련을 내부 잔여 오차 손실에만 의존하도록 단순화하며, 복잡한 2차원 및 4차원 영역에서 표준 PINN보다 뛰어난 정확도를 달성한다.

ABSTRACT

In this paper, we introduce a new approach based on distance fields to exactly impose boundary conditions in physics-informed deep neural networks. The challenges in satisfying Dirichlet boundary conditions in meshfree and particle methods are well-known. This issue is also pertinent in the development of physics informed neural networks (PINN) for the solution of partial differential equations. We introduce geometry-aware trial functions in artifical neural networks to improve the training in deep learning for partial differential equations. To this end, we use concepts from constructive solid geometry (R-functions) and generalized barycentric coordinates (mean value potential fields) to construct $\phi$, an approximate distance function to the boundary of a domain. To exactly impose homogeneous Dirichlet boundary conditions, the trial function is taken as $\phi$ multiplied by the PINN approximation, and its generalization via transfinite interpolation is used to a priori satisfy inhomogeneous Dirichlet (essential), Neumann (natural), and Robin boundary conditions on complex geometries. In doing so, we eliminate modeling error associated with the satisfaction of boundary conditions in a collocation method and ensure that kinematic admissibility is met pointwise in a Ritz method. We present numerical solutions for linear and nonlinear boundary-value problems over domains with affine and curved boundaries. Benchmark problems in 1D for linear elasticity, advection-diffusion, and beam bending; and in 2D for the Poisson equation, biharmonic equation, and the nonlinear Eikonal equation are considered. The approach extends to higher dimensions, and we showcase its use by solving a Poisson problem with homogeneous Dirichlet boundary conditions over the 4D hypercube. This study provides a pathway for meshfree analysis to be conducted on the exact geometry without domain discretization.

연구 동기 및 목표

• 복잡한 기하 구조에서 지속적인 정확하지 않은 경계 조건 강제 문제를 해결하기 위해.
• 메쉬가 필요 없고 기하 구조에 민감한 접근 방식을 개발하여 사전에 필수 및 자연 경계 조건을 정확히 만족시키기 위해.
• 경계 손실 항목을 제거하여 PINN 훈련을 단순화하고 손실 함수에서 내부 잔여 오차에만 의존하기 위해.
• 메쉬 생성 없이 정확한 기하 구조에서 이소지오메트릭과 유사한 분석을 가능하게 하기 위해.
• 이를 고차원 문제, 특히 4차원 초입방체에까지 확장하여 확장성 입증하기 위해.

제안 방법

• R-함수(즉, R-등가성 조합을 통한)와 평균 값 잠재력 필드를 사용하여 영역 경계에 대한 부호가 있는 거리의 근사 함수(ADFs)를 구성한다.
• 역거리 가중치 기반의 전이형 보간을 사용하여 ADF를 비균일한 딜리클레, 뉴먼, 루빈 조건으로 일반화한다.
• PINN 근사에 ADF를 곱하여 경계 조건을 정확히 강제함으로써 리츠 방법에서 운동학적 적합성과 콜로케이션 방법에서 점별 만족을 확보한다.
• 강형 형식의 콜로케이션과 리츠 최소화를 사용하여 PDE를 해결하며, 손실 함수는 내부 잔여 오차만 포함한다.
• 신경망의 고차 미분을 계산하기 위해 자동 미분을 적용하여 PDE 잔여 오차 평가에 사용한다.
• 4차원으로의 확장을 위해 R-등가성을 사용하여 초입방체 위에서 ADF를 구성함으로써 메쉬 없는 푸아송 방정식 해법을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 R-함수와 평균 값 잠재력에서 유도된 근사 거리 함수는 복잡한 기하 구조에서 다양한 경계 조건을 PINN에서 정확히 강제하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ2 사전에 경계 조건을 만족시킴으로써 경계 손실 항목을 제거하면 PINN의 훈련 효율성과 해의 정확도가 향상되는가?
• RQ3 비선형 및 고차 PDE, 특히 아이케오날 방정식과 비하모닉 방정식에 대해 제안된 방법은 어떻게 성능을 보이는가?
• RQ4 차원의 저주에 시달리지 않고도 4차원 푸아송 방정식과 같은 고차원 문제로 이 방법을 확장할 수 있는가?
• RQ5 정확도와 계산 비용 측면에서 R-등가성 대비 평균 값 잠재력에 기반한 ADF 구성 방식은 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 선형 및 비선형 PDE를 포함한 모든 벤치마크 문제에서 표준 PINN 콜로케이션 방법보다 일관되게 높은 정확도를 보였다.
• 경계 조건이 사전에 만족되기 때문에 훈련 손실과 PDE 잔여 오차 손실이 일치하며, 가중치가 부여된 경계 손실 항목의 필요성이 제거되어 수렴성이 향상되었다.
• 비볼록 영역에서 아이케오날 방정식의 경우 R-등가성 ADF가 평균 값 잠재력 ADF보다 더 높은 정확도를 달성했지만, 다각형의 변이 많은 경우 평균 값 잠재력 ADF가 더 효율적이었다.
• 4차원 초입방체에서 동일한 딜리클레 조건을 가진 푸아송 방정식을 2–100–100–1 네트워크로 성공적으로 해결하여 고차원으로의 확장성 입증하였다.
• R-함수와 평균 값 잠재력에 기반한 ADF의 사용은 도메인 이산화 없이 정확한 기하 구조에서 메쉬 없는 이소지오메트릭과 유사한 시뮬레이션을 가능하게 하였다.
• 메쉬 생성 없이 곡선형 및 다중 연결 영역에서도 정확한 경계 강제로 인해 해의 정밀도가 향상되는 강력한 PDE 해법이 가능해졌다.