[논문 리뷰] Exact Models for Symmetry-Protected Topological Phases in One Dimension

Scott Geraedts, Olexei I. Motrunich|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 06.

Topological Materials and Phenomena인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 한 $Χ_{N}$ 대칭의 도메인 월을 다른 $Χ_{N}$ 대칭의 전하에 결합하여 $Χ_{N}\timesΧ_{N}$ 대칭 보호 위상(SPT)의 정확히 해를 가진 일차원 모델을 제시한다. 이 결합 상태는 응집되어 위상적 순서를 실현한다. 이 모델은 $N$개의 서로 다른 SPT 위상을 실현하며, 대칭이 $Χ_{r}\timesΧ_{r}$($r = N/d$)로 부분적으로 붕괴될 경우 추가로 $r$개의 위상적 위상을 실현한다. 이러한 모든 위상은 외부 교란에 대해 안정적이다.

ABSTRACT

We present an exactly solvable model for one-dimensional symmetry-protected topological phases with $\mathbb{Z}_N imes\mathbb{Z}_N$ symmetry. The model works by binding point topological defects (domain walls) of one symmetry to charges of the other and condensing these bound states. Binding single topological defects to charges leads to symmetry-protected topological phases, while binding multiple topological defects to charges leads to phases with a combination of symmetry-breaking and topological properties.

연구 동기 및 목표

• 일차원 대칭 보호 위상(SPT) 위상에 대해 $Χ_{N}\timesΧ_{N}$ 대칭을 가진 정확히 해를 가진 모델을 구축하는 것.
• 이전의 $Χ_{2}\timesΧ_{2}$ SPT 위상 연구를 일반 $N$으로 확장하고, 대칭 붕괴와 위상 순서를 동시에 고려한 위상들을 다루는 것.
• 도메인 월을 전하에 결합함으로써 위상적 순서가 실현되며, 부분 대칭 붕괴가 다수의 위상적 위상을 이끌어내는 방식을 보여주는 것.
• 모델이 $Χ_{N}\timesΧ_{N}$ 대칭에 대해 가능한 $N$개의 모든 SPT 위상을 실현하고, 대칭이 $Χ_{r}\timesΧ_{r}$로 감소할 경우 $r$개의 위상을 실현함을 보여주는 것.
• 이 위상들이 외부 교란에 대해 안정적인지 확인하고, 그들 사이의 전이를 연구하기 위한 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 모델은 번갈아가며 홀수 및 짝수 격자 위치에 있는 두 종류의 $Χ_{N}$ 변수를 사용하며, $XZ = \omega ZX$를 만족하는 $Z$ 및 $X$ 연산자를 포함하는 해밀토니안 항을 포함한다. 여기서 $\omega = e^{i2\pi/N}$이다.
• 해밀토니안은 $H = H_{\text{odd}} + H_{\text{even}}$로 구성되며, 각 항은 인접한 위치에 있는 도메인 월(단위 $Z^\dagger$ 및 $Z$를 통해)과 전하(단위 $X^d$를 통해)를 결합한다.
• 지상 상태는 $Z$ 기저에서 고유값 문제를 풀어 구하며, 해밀토니안 항들이 서로 가환하기 때문에 유도된 파동함수 진폭 제약 조건이 존재한다.
• 만약 $d$가 $N$을 나누면, 자발적 대칭 붕괴로 인해 지상 상태의 degeneracy는 $\tilde{d}^2 = (N/d)^2$가 된다. 여기서 $\tilde{d} = N/d$이다.
• 열린 경계 조건을 가질 경우, $\tilde{c}' = \gcd(c,r)$이고 $r = N/d$일 때, 경계 상태로 인해 추가로 $(r/\tilde{c}')^2$의 degeneracy가 발생한다.
• 만약 $c$와 $d$가 서로소가 아니면, 매크로스코픽 degeneracy를 제거하기 위해 $\delta H' = -J\sum_i [(Z_{i-1}^\dagger Z_{i+1})^r + h.c.]$의 교란항을 추가하며, 이는 위상적 구조를 변화시키지 않는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 $N$에 대해 $Χ_{N}\timesΧ_{N}$ 대칭을 가진 일차원 SPT 위상에 대해 정확히 해를 가진 모델을 구성할 수 있는가?
• RQ2 도메인 월을 전하에 결합함으로써 일차원에서 위상적 순서가 어떻게 실현되는가? 대칭 분획화의 역할은 무엇인가?
• RQ3 만약 $N$이 복합수일 경우, 위상적 위상의 수와 대칭 붕괴 패tern 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 지상 상태의 degeneracy는 어떻게 발생하며, 그 기원은 위상적 순서인지 자발적 대칭 붕괴인지?
• RQ5 위상적 위상들은 국소적 교란에 대해 안정적인가? 그리고 스트링 오더 파라미터나 얽힘 스펙트럼을 통해 진단 가능한가?

주요 결과

• 모델은 $Χ_{N}\timesΧ_{N}$ 대칭에 대해 $c$의 다양한 값에 대응하는 $N$개의 서로 다른 위상적 위상을 실현한다.
• 대칭이 $Χ_{r}\timesΧ_{r}$($r = N/d$)로 부분적으로 붕괴될 경우, 모델은 $r$개의 서로 다른 위상적 위상을 실현하며, 이는 $c$의 다양한 선택에 의해 접근 가능하다.
• 지상 상태의 degeneracy는 $\tilde{d}^2 = (N/d)^2$이며, 자발적 대칭 붕괴로 인해 발생한다. 이 degeneracy는 국소적 교란에 대해 강건하다.
• 열린 사슬의 경우, 경계 모드로 인해 총 degeneracy에 추가로 $(r/\gcd(c,r))^2$의 요소가 포함되며, 이는 보호된 경계 상태 형태의 위상적 순서 존재를 시사한다.
• DMRG와 부호 자유 몬테카를로 시뮬레이션을 통해 $X_i$ 또는 $Z_{i-1}^\dagger Z_{i+1}$와 같은 국소적 교란에 대해 모델이 안정됨을 확인하였다.
• 만약 $c$와 $d$가 서로소가 아니면, 매크로스코픽 degeneracy를 제거하기 위해 $\delta H'$의 교란항을 도입하였으며, 이는 위상 분류를 변화시키지 않아도 되며, 잘 정의된 위상들을 보장한다.