[논문 리뷰] Exact quantum Fourier transforms and discrete logarithm algorithms

Michele Mosca, Christof Zalka|ArXiv.org|2003. 01. 17.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 2인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 애너메이션 강화를 사용하여 키타에프의 근사 고유값 추정 단계를 보정함으로써 임의의 차수, 특히 큰 소수에 대해 정확한 양자 푸리에 변환(QFFT)을 구현하는 방법을 제시한다. 주요 기여는 쇼어의 이산 로그 알고리즘을 정확하게 만들고, 양자 알고리즘이 반드시 비결정적이어야 한다는 것이 아니라는 것을 보이며, 게이트 매개변수를 효율적으로 계산할 수 있는 균일한 회로 가족을 제공한다는 것이다.

ABSTRACT

We show how the quantum fast Fourier transform (QFFT) can be made exact for arbitrary orders (first for large primes). For most quantum algorithms only the quantum Fourier transform of order $2^n$ is needed, and this can be done exactly. Kitaev \cite{kitaev} showed how to approximate the Fourier transform for any order. Here we show how his construction can be made exact by using the technique known as ``amplitude amplification''. Although unlikely to be of any practical use, this construction e.g. allows to make Shor's discrete logarithm quantum algorithm exact. Thus we have the first example of an exact non black box fast quantum algorithm, thereby giving more evidence that ``quantum'' need not be probabilistic. We also show that in a certain sense the family of circuits for the exact QFFT is uniform. Namely the parameters of the gates can be calculated efficiently.

연구 동기 및 목표

• 기존 구현이 근사적이었던 바, 특히 큰 소수를 포함한 임의의 차수에 대해 정확한 양자 푸리에 변환(QFFT)을 개발하는 것.
• 확률적 양자 알고리즘의 한계를 극복하기 위해 정확한 QFFT를 사용하여 쇼어의 이산 로그 알고리즘을 정확하게 만드는 것.
• 정확한 QFFT를 위한 회로 가족이 균일하며, 입력 차수에서 효율적으로 계산 가능한 게이트 매개변수를 가져야 한다는 것.
• 애너메이션 강화의 적용 범위를 검색을 초과하여 QFFT와 같은 유니터리 변환으로 확장하는 것.

제안 방법

• QFFT의 키타에프 근사 고유값 추정 단계를 애너메이션 강화를 사용해 정확하게 수정하여 정확한 절차로 전환하는 것.
• 휴리스틱 알고리즘의 성공 확률을 정확히 1/4로 조정하여, 단일 반복의 애너메이션 강화로 정확한 상태를 확실히 확보하는 것.
• 제어된 위상 연산을 도입하여 $ x' = x $ 인지 확인함으로써 정확한 고유값을 식별하고, 선택적 애너메이션 강화를 가능하게 하는 것.
• 홀수 차수와 2의 거듭제곱에 대한 QFFT의 텐서 곱으로 정확한 QFFT를 구성함으로써 복합 차수에 대한 모듈러 구조를 가능하게 하는 것.
• 순서 $ q $ 가 알려져 있지 않은 경우 이산 로그 알고리즘에 반복적 애너메이션 강화를 적용하여 문제 크기를 각 단계에서 최소 2배로 줄이고, 새로운 특수 게이트를 도입하지 않는 것.
• 모든 게이트 매개변수를 차수 $ q $ 에서 효율적으로 계산하여 회로의 균일성을 유지하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존에 2의 거듭제곱에 대해서만 가능했던 바, 임의의 차수, 특히 큰 소수에 대해서도 정확한 양자 푸리에 변환을 만들 수 있는가?
• RQ2 애너메이션 강화를 사용하여 근사 양자 알고리즘을 정확한 것으로 전환할 수 있는가, 특히 QFFT에 대해서는?
• RQ3 정확한 QFFT를 사용하여 쇼어의 이산 로그 알고리즘을 정확하게 만들 수 있는가, 이를 통해 확률적 결과를 제거할 수 있는가?
• RQ4 정확한 QFFT를 위한 회로 가족은 균일한가? 게이트 매개변수를 입력 차수에서 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ5 그룹 순서의 인수분해를 알 수 없을 때도 정확한 QFFT를 사용하여 이산 로그 알고리즘을 정확하게 만들 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 애너메이션 강화를 사용해 키타에프의 고유값 추정 단계를 정확하게 만들어, 임의의 차수, 특히 큰 소수에 대해 정확한 양자 푸리에 변환을 구성한다.
• 애너메이션 강화 단계의 성공 확률가 정확히 1/4로 조정되어 단일 반복으로 정확한 상태를 확실히 확보할 수 있다.
• 정확한 QFFT를 사용하여 쇼어의 이산 로그 알고리즘을 정확하게 만들었으며, 이는 비블랙박스 빠른 양자 알고리즘 중에서 정확한 예시로 처음으로 제시된 것이다.
• 정확한 QFFT를 위한 회로 가족은 균일하며, 모든 게이트 매개변수를 차수 $ q $ 에서 효율적으로 계산할 수 있다. 이는 인수분해를 알지 못하더라도 가능하다.
• 순서의 인수분해를 알 수 없는 이산 로그 문제의 경우, 알고리즘은 $ O(\log q) $ 번의 실행을 사용하며, 각 실행에서 문제 크기를 최소 2배로 줄이며, 동일한 게이트 집합을 재사용한다.
• 반복 과정에서 새로운 특수 게이트를 도입하지 않아 균일성을 유지하고, 효율적으로 계산된 매개변수로부터 단일 양자 회로를 구성할 수 있다.