[논문 리뷰] Exact representation of truncated variation of Brownian motion

Piotr Miłoś|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 11.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 스코로호드 문제와의 연관성을 통해 브라운 운동의 절단된 변동성의 정확한 분포적 표현을 수립한다. 이는 절단된 변동성 과정의 역수가 시간 이동을 제외하고는 라플라스 지수 $\sqrt{2q}\tanh(c\sqrt{q/2})$를 가진 레비 하위조직자임을 보이며, 절단된 변동성을 정의하는 변분 문제에서 최소화자를 새로운 명시적 경로 기반 특성화로 제공한다.

ABSTRACT

In the recent papers [Lochowski:2011fk, Lochowski:2013yq, Lochowski:2013lr] the truncated variation has been introduced, characterized and studied in various stochastic settings. In this note we uncover an intimate link to the Skorokhod problem. Further, we exploit it to give an explicit representation of the truncated variation of a Brownian motion. More precisely, we prove that the inverse of this process is, up to a minor time shift, a Lévy subordinator with the exponent \sqrt{2q} anh(c\sqrt{q/2}) . This also gives a representation of a solution of the two-sided Skorokhod problem for a Brownian motion.

연구 동기 및 목표

• 브라운 운동의 절단된 변동성에 대한 정밀한 경로 기반 특성화를 수립하기 위해.
• 절단된 변동성을 càdlàg 함수에 대한 스코로호드 임bedding 문제와 연결하기 위해.
• 지역 시간과 제1통과 시간을 이용하여 절단된 변동성 과정의 명시적 분포적 표현을 유도하기 위해.
• 절단된 변동성 과정의 역수가 특정 라플라스 지수를 가진 시간 이동이 있는 레비 하위조직자임을 보여주기 위해.
• 변분 문제에서 최소화자를 통해 브라운 운동에 대한 이중측 스코로호드 문제를 해결하기 위해.

제안 방법

• 경로 주위의 $c/2$-튜브 내의 함수들에 대한 총 변동성의 하한으로서 절단된 변동성의 변분 특성화를 사용한다.
• 레미마 1을 적용하여 최소화자 $g^c$를 상승 및 하강 점프에 해당하는 두 증가 과정 $f_1$과 $f_2$의 차로 표현한다.
• 지역 시간 $L_t^a$를 사용하여 과정 $X_t^c$와 $Y_t^c$를 정의한다. 여기서 $X_t^c$는 수준 $kc$에서, $Y_t^c$는 수준 $(2k+1)c$에서 정의된다.
• 분포적 동치를 수립한다: $\text{TV}^c(B,[0;t]) \stackrel{d}{=} Y_{t - (\tau_U \wedge \tau_D)}^c$, 여기서 $\tau_U, \tau_D$는 달성 최소/최대값에서 $c$ 이상 상승 및 하강하는 제1통과 시간이다.
• 제1통과 분포와 지역 시간 밀도를 포함한 극한 절차를 통해 절단된 변동성 과정의 역수의 라플라스 지수를 도출한다.
• 강한 마코프 성질과 제1통과 확률의 점근적 분석을 활용하여 이산 근사의 수렴을 정당화하고 연속 라플라스 변환으로의 수렴을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 브라운 운동의 절단된 변동성을 분포적으로 정확히 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ2 절단된 변동성과 브라운 경로에 대한 스코로호드 문제 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 절단된 변동성 과정의 역수가 레비 하위조직자인가? 만약 그렇다면, 그 라플라스 지수는 무엇인가?
• RQ4 변분 문제에서 정의된 절단된 변동성의 최소화자를 지역 시간과 제1통과 시간을 통해 명시적으로 특성화할 수 있는가?
• RQ5 브라운 경로에서 달성 최소/최대값으로부터의 첫 번째 상당한 이탈(크기 $c$)까지의 시간 분포는 무엇인가?

주요 결과

• 절단된 변동성 $\text{TV}^c(B,[0;t])$는 $Y_{t - (\tau_U \wedge \tau_D)}^c$와 분포적으로 동일하며, 여기서 $Y_t^c = \sum_{k \in \mathbb{Z}} L_t^{kc}$는 $c$의 배수 수준에서의 지역 시간으로 구성된 과정이다.
• 절단된 변동성 과정의 역수는 시간 이동을 제외하고는 라플라스 지수 $\sqrt{2q}\tanh(c\sqrt{q/2})$를 가진 레비 하위조직자이다.
• 변분 문제에서의 최소화자 $g^c$는 $g^c(t) = x + f_1(t) - f_2(t)$로 주어지며, 여기서 $f_1, f_2$는 경로가 $c/2$-튜브의 하한 및 상한 경계에 도달하는 집합에 집중된 증가 과정이다.
• 제1통과 시간 $\tau_U$와 $\tau_D$는 지수적으로 감쇠하는 尾를 가지며, $\tau_U \wedge \tau_D$는 이전 문헌에서의 $\theta(c)$에 해당한다.
• 절단된 변동성 과정의 역수의 라플라스 변환은 제1통과 시간과 지역 시간 간격의 이산 근사에 대한 극한 절차를 통해 도출된다.
• 이산 근사가 연속 라플라스 변환으로 수렴하는 것은 시작점 $x$에 대해 균일하므로, 극한의 타당성이 보장된다.