[논문 리뷰] Exact results and open questions in first principle functional RG

Pierre Le Doussal|ArXiv.org|2008. 09. 06.

Fluid Dynamics and Turbulent Flows인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 편재된 탄성체에 대한 기능적 중앙유도 그룹(FRG)과 버거스 방정식에서 충격과 덩어리의 통계역학 사이의 정확한 연결 고리를 설정한다. FRG 스케일링 함수 R(u)와 고차 누적량이 슽딩 힘의 잘린 조화 터널 내 재규격화된 잠재력의 모멘트로부터 유도될 수 있음을 증명함으로써, d=0에서 R(u)의 제1원리적 계산이 가능해지고 ε=4−d 전개가 충격 및 덩어리 통계를 통해 검증된다.

ABSTRACT

Some aspects of the functional RG (FRG) approach to pinned elastic manifolds (of internal dimension $d$) at finite temperature $T>0$ are reviewed and reexamined in this much expanded version of [Europhys. Lett. {\bf 76} 457 (2006)]. The particle limit $d=0$ provides a test for the theory: there the FRG is equivalent to the decaying Burgers equation, with viscosity $ν\sim T$ - both being formally irrelevant. Analogy between Kolmogorov scaling and FRG cumulant scaling is discussed. Next we prove that the FRG function $R(u)$ and higher cumulants defined from the field theory can be obtained {\it for any $d$} from moments of a renormalized potential defined in an sliding harmonic well. This allows to measure the fixed point function $R(u)$ in numerics and experiments. In $d=0$ the beta function (of the inviscid limit) is obtained from first principles to four loop. For Sinai model (uncorrelated Burgers initial velocities) the ERG hierarchy can be solved and the exact function $R(u)$ is obtained. Connections to exact solutions for the statistics of shocks in Burgers and to ballistic aggregation is detailed. A relation is established between the size distribution of shocks and the one for droplets. A droplet solution to the ERG functional hierarchy is found for any $d$, and the form of $R(u)$ in the thermal boundary layer is related to droplet probabilities. These being known for the $d=0$ Sinai model the function $R(u)$ is obtained there at any $T$. Consistency of the $ε=4-d$ expansion in one and two loop FRG is studied from first principles, and connected to shock and droplet relations which could be tested in numerics.

연구 동기 및 목표

• 임의의 차원 d에서 편재된 탄성 다발에 대한 FRG 스케일링 함수 R(u)의 제1원리적 유도를 위한 것이다.
• 기능적 RG 접근법을 버거스 방정식에서의 충격과 덩어리의 통계역학과 연결지어, 특히 d=0 입자 극한에서의 관계를 규명하는 것이다.
• 한 및 두 번째 순서에서 ε=4−d 전개가 충격 및 덩어리 통계와 연결되어 일관성을 갖는지 검증하기 위한 것이다.
• 슬라이딩 조화 터널 내 재규격화된 잠재력의 모멘트를 통해 R(u)를 수치적 및 실험적으로 측정할 수 있는 프rotocol를 제공하기 위한 것이다.
• 신시아 모델에서 ERG 계층의 구조를 해결하고 유한 온도에서 정확한 R(u) 함수를 유도하기 위한 것이다.

제안 방법

• 모든 d에 대해 유효한 슑딩 힘의 잘린 조화 터널 내 재규격화된 잠재력의 모멘트에서 FRG 함수 R(u)를 도출한다.
• d=0에서 FRG가 점성 ν ∼ T인 붕괴하는 버거스 방정식과 동치임을 이용하여 정확한 해를 도출한다.
• 무점성 극한을 적용하여 d=0에서 4차 순서까지의 베타 함수를 제1원리적으로 계산한다.
• 상관없는 초기 속도를 가진 신시아 모델에서 ERG 계층을 정확히 해결하여 정확한 R(u) 함수를 도출한다.
• d=0 경우에서 충격 크기 분포와 덩어리 확률 분포 사이의 이중성 관계를 수립한다.
• R(u)의 열적 경계층 행동을 알려진 덩어리 확률과 연결지어, 유한 온도에서 정확한 계산이 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 FRG 스케일링 함수 R(u)는 고차원 d에서의 펄스 전개를 초월하여 제1원리적으로 유도될 수 있는가?
• RQ2 유한 온도에서 d=0 경우의 정확한 R(u) 형태는 무엇이며, 버거스 방정식의 충격 통계와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 버거스 방정식에서의 충격 및 덩어리 통계는 FRG 기능 계층과 어떻게 연결되는가?
• RQ4 한 및 두 번째 순서에서 ε=4−d 전개는 충격 및 덩어리 통계의 정확한 결과와 어느 정도 일관성을 갖는가?
• RQ5 수치 시뮬레이션 또는 실험에서 재규격화된 잠재력의 모멘트를 이용해 FRG 함수 R(u)를 측정할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 d에서 FRG 함수 R(u)와 고차 누적량은 슑딩 힘의 잘린 조화 터널 내 재규격화된 잠재력의 모멘트로부터 정확히 계산될 수 있다.
• d=0 경우에서 무점성 극한의 베타 함수는 제1원리적으로 4차 순서까지 유도되었다.
• 신시아 모델에서 유한 온도에서 정확한 R(u) 함수를 도출하였으며, 이는 알려진 덩어리 확률과 연결되었다.
• 버거스 방정식에서의 충격 크기 분포가 d=0 경우의 덩어리 확률 분포와 동치임을 보였다.
• R(u)의 열적 경계층 형태는 덩어리 확률과 명시적으로 연결되어 d=0에서 정확한 계산이 가능해졌다.
• 정확한 충격 및 덩어리 관계를 통해 ε=4−d 전개의 일관성이 한 및 두 번째 순서에서 검증되었으며, 이는 수치적으로 검증 가능하다.