[논문 리뷰] Exact results for vortex loop operators in 3d supersymmetric theories

Nadav Drukker, Takuya Okuda외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 14.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 28인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 3차원 ${\mathcal{N}}=2$ 초대칭 게이지 이론에서 1/2-BPS 바이러스 루프 연산자에 대한 정확한 기댓값을 초대칭 국소화를 사용하여 계산한다. $\mathbb{S}^3$, $\mathbb{S}^3_b$, $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^2$에서 경로적분을 유한차원 행렬모형으로 감소시킴으로써, 특이한 게이지장 구성이 있는 바이러스 루프에 대한 정확한 결과를 도출하며, 이는 비주기적인 구면 조화함수의 스펙트럼 분석과 곡면 배경에서의 지수 이론에 의해 한정된 1-루프 행렬식에 의해 결정됨을 보여준다.

ABSTRACT

Three dimensional field theories admit disorder line operators, dubbed vortex loop operators. They are defined by the path integral in the presence of prescribed singularities along the defect line. We study half-BPS vortex loop operators for N=2 supersymmetric theories on S^3, its deformation S^3_b and S^1 x S^2. We construct BPS vortex loops defined by the path integral with a fixed gauge or flavor holonomy for infinitesimal curves linking the loop. It is also possible to include a singular profile for matter fields. For vortex loops defined by holonomy, we perform supersymmetric localization by calculating the fluctuation modes, or alternatively by applying the index theory for transversally elliptic operators. We clarify how the latter method works in situations without fixed points of relevant isometries. Abelian mirror symmetry transforms Wilson and vortex loops in a specific way. In particular an ordinary Wilson loop transforms into a vortex loop for a flavor symmetry. Our localization results confirm the predictions of abelian mirror symmetry.

연구 동기 및 목표

• 3D ${\mathcal{N}}=2$ 초대칭 게이지 이론에서 1/2-BPS 바이러스 루프 연산자의 정확한 진공 기댓값을 계산하기 위해.
• 곡면 배경에서 루프를 따라 특이한 게이지장 구성이 있는 경우에 초대칭 국소화 기법을 확장하기 위해.
• $\mathbb{S}^3$ 및 $\mathbb{S}^3_b$에서 비주기적인 구면 조화함수를 분류하고 분석하여 1-루프 행렬식을 계산하기 위해.
• 경로적분을 유한차원 행렬모형으로 감소시켜 아벨 이론에서 바이러스 루프 연산자에 대한 정확한 결과를 도출하기 위해.
• $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^2$에서 스펙트럼 분석과 경계항 보정을 통해 바이러스 루프 기댓값과 지수 이론 간의 연결을 수립하기 위해.

제안 방법

• 초대칭 양미스 이론과 3차원 카이랄 다중구조의 작용을 조합하여 구성된 국소화 작용을 사용하여 $\mathbb{S}^3$에서 초대칭 국소화를 적용하기 위해.
• 실수 대각행렬 $H$ (아벨 경우 $\eta$)로 매개화된 특이한 게이지장 구성으로 바이러스 루프 연산자를 도입하여 초대칭의 절반을 유지하기 위해.
• $\mathbb{S}^3$에서 비표준 주기성을 가진 미분연산자의 스펙트럼 분석을 수행하고, 수정된 경계조건을 가진 스칼라, 벡터, 스핀론 조화함수를 분류하기 위해.
• 디랙 연산자 $D_{10}$의 기호를 분석하고 $s \to \infty$ 변형을 통해 영모드가 극 근처에 국소화됨을 분석함으로써 1-루프 행렬식을 지수 이론을 사용하여 계산하기 위해.
• 국소화를 비틀린 구면 $\mathbb{S}^3_b$ 및 $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^2$로 일반화하고, 지수 이론을 통해 분할함수와 바이러스 루프 기댓값을 계산하기 위해.
• 장의 코homological 정렬과 감소 공식을 사용하여 연산자 $D_{10}$의 지수를 유도하고, 게이지 및 R-대칭 플럭스를 고려하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특이한 게이지장 구성이 있는 3D ${\mathcal{N}}=2$ 초대칭 게이지 이론에서 바이러스 루프 연산자는 어떻게 일관되게 정의될 수 있는가?
• RQ2 $\mathbb{S}^3$, $\mathbb{S}^3_b$, 및 $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^2$에서 1/2-BPS 바이러스 루프 연산자의 정확한 기댓값은 무엇인가?
• RQ3 바이러스 루프가 존재하는 조건에서 비주기적인 경계 조건이 구면 조화함수에 미치는 영향은 1-루프 행렬식에 어떻게 작용하는가?
• RQ4 곡면 초대칭 배경에서 바이러스 루프 연산자의 1-루프 행렬식을 계산할 때 지수 이론의 역할은 무엇인가?
• RQ5 $\mathbb{S}^3$에서 바이러스 루프가 있는 국소화 절차는 게이지 대칭이 국소적으로만 깨지는 상황에서도 허브 브랜치 국소화와 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 아벨 ${\mathcal{N}}=2$ 이론에서 $\mathbb{S}^3$에 정의된 바이러스 루프 연산자의 기댓값은 스펙트럼 분석에서 유도된 1-루프 행렬식으로 수정된 유한차원 행렬적분으로 주어진다.
• 벡터 다중구조의 1-루프 행렬식은 $\text{ind}\,D_{10}^{\text{vec}} = -\sum_{n\in\mathbb{Z}}\sum_{\alpha\in\text{adj}}h^n\left(t^{-\alpha(m)/2}+t^{\alpha(m)/2}\right)e^{i\alpha(a)}$로 계산되며, 이는 $\mathbb{S}^3$에서 영모드 국소화로부터 유도된다.
• 카이랄 다중구조의 지수는 $\text{ind}_{g}D_{10}^{\text{chi}} = \sum_{n\in\mathbb{Z}}\sum_{r=0}^{\infty}\sum_{\rho\in R}h^n\left(t^{r-\frac{1}{2}\rho(m)}-t^{-r-1+\frac{1}{2}\rho(m)}\right)e^{i\rho(a)}f$로 주어지며, R-스피너 및 플럭스 기여가 포함된다.
• 디랙 연산자 $D_{10}$의 영모드는 $s \to \infty$ 극한에서 $\mathbb{S}^3$의 북극과 남극 근처에 국소화되며, 파동함수는 $\sim e^{-ir\varphi}\sin^r\theta \, e^{-2s\sin^2(\theta/2)}$ 형태를 가진다.
• $\mathbb{S}^3_b$ 및 $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^2$에서의 지수 계산은 지수 이론을 통해 일관된 결과를 도출하며, 분할함수와 루프 기댓값은 스펙트럼 데이터로 표현된다.
• 배경에서 정체된 모드가 고결되어 있어 게이지 대칭이 바이러스 루프 위치에서만 국소적으로 깨져도, 이 방법은 효과적으로 허브 브랜치에 대한 국소화를 수행한다.