[논문 리뷰] Exact search algorithm to factorize large biprimes and a triprime on IBM quantum computer

Avinash Dash, Deepankar Sarmah외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 26.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 19인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 그로버 알고리즘을 기반으로 한 정확한 검색 알고리즘을 제안하여 IBM의 5-큐비트 및 16-큐비트 양자 프로세서에서 큰 이소수(4088459 및 966887)와 삼소수(175)를 인수분해한다. 정수 인수분해 문제를 최적화 문제로 재구성하고, 진폭 증폭을 위해 위상 일치 기법을 활용함으로써, 최소한의 큐비트로 현재까지 가장 큰 정수를 양자 장치에서 실험적으로 인수분해하는 데 성공하였으며, 높은 정밀도의 결과를 도출하고 다중소수 정수로의 확장 가능성도 입증한다.

ABSTRACT

Factoring large integers using a quantum computer is an outstanding research problem that can illustrate true quantum advantage over classical computers. Exponential time order is required in order to find the prime factors of an integer by means of classical computation. However, the order can be drastically reduced by converting the factorization problem to an optimization one and solving it using a quantum computer. Recent works involving both theoretical and experimental approaches use Shor's algorithm, adiabatic quantum computation and quantum annealing principles to factorize integers. However, our work makes use of the generalized Grover's algorithm as proposed by Liu, with an optimal version of classical algorithm/analytic algebra. We utilize the phase-matching property of the above algorithm for only amplitude amplification purposes to avoid an inherent phase factor that prevents perfect implementation of the algorithm. Here we experimentally demonstrate the factorization of two bi-primes, 4088459 and 966887 using IBM's 5- and 16-qubit quantum processors, hence making those the largest numbers that have been factorized on a quantum device. Using the above 5-qubit processor, we also realize the factorization of a tri-prime integer 175, which had not been achieved to date. We observe good agreement between experimental and theoretical results with high fidelities. The difficulty of the factorization experiments has been analyzed and it has been concluded that the solution to this problem depends on the level of simplification chosen, not the size of the number factored. In principle, our results can be extended to factorize any multi-prime integer with minimum quantum resources.

연구 동기 및 목표

• 근처 양자 하드웨어에서 큰 정수—특히 이소수와 삼소수—를 실험적으로 인수분해하는 것을 목적으로 한다.
• 이전의 양자 인수분해 방법의 한계를 극복하기 위해, 아디아바틱 또는 쇼어 기반 접근 방식 대신 위상 일치 기반 정확한 검색 알고리즘을 사용한다.
• 인수분해의 어려움이 수의 크기보다는 인수의 구조적 특성에 따라 달라지며, 이는 최소한의 큐비트로 큰 정수를 효율적으로 인수분해할 수 있음을 보여준다.
• 양자 장치에서 삼소수 175의 첫 실험적 인수분해를 달성하여, 이 방법이 다중소수 정수로의 확장 가능성에 대해 검증한다.

제안 방법

• 소수 인수를 이진 문자열로 표현하고, 그 비트들이 만족해야 할 방정식의 시스템을 유도함으로써 인수분해 문제를 최적화 문제로 변환한다.
• 해결 공간을 인코딩하기 위해 비유니타리 해밀토니안을 구성하고, 이를 지수로 변환하여 유니타리 진동 연산자를 형성함으로써 게이트 모델 양자 프로세서에 직접 구현할 수 있도록 한다.
• 표준 진폭 증폭 기법에서 발생하는 위상 인자 문제를 피하기 위해, 위상 일치 기법을 활용한 일반화된 그로버 알고리즘을 적용하여 정확한 해 상태의 진폭을 증폭한다.
• 고전적 해석 대수학을 활용하여 변수 수와 필요한 큐비트 수를 최소화함으로써 회로 깊이와 오류 민감도를 감소시킨다.
• 프로토콜은 IBM의 5-큐비트(ibmqx4) 및 16-큐비트(ibmqx5) 초전도 양자 프로세서에 구현되었으며, 큐비트 제어 및 읽기 작업은 공면파이프(CPW) 공진기를 통해 수행된다.
• 큐비트 주파수, 리프레시 시간(T1), 그리고 공명 시간(T2)과 같은 실험적 매개변수를 정밀하게 校정하여 높은 정밀도의 상태 준비 및 측정을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 그로버 기반 정확한 검색 알고리즘이 근처 양자 하드웨어에서 쇼어 알고리즘 또는 아디아바틱 양자 계산보다 큰 이소수와 삼소수를 더 효율적으로 인수분해할 수 있는가?
• RQ2 양자 정수 인수분해의 복잡도는 수의 크기보다는 그 소수 인수의 구조적 특성에 따라 달라지는가?
• RQ3 진폭 증폭에서 위상 일치 기법이 위상 인자 장애 없이 검색 알고리즘을 완벽하게 실행 가능하게 하는가?
• RQ4 해밀토니안 설계 및 실행의 과제가 존재하는 바, 175와 같은 삼소수를 실험적으로 양자 프로세서에서 인수분해하는 것은 가능한가?
• RQ5 사전 처리 단계에서의 단순화가 인수분해에 필요한 큐비트 수와 회로 깊이를 얼마나 줄일 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 IBM의 5-큐비트 프로세서에서 오직 2개의 큐비트만을 사용하여 이소수 4088459의 첫 실험적 인수분해를 보고하며, 당시까지 양자 장치에서 인수분해된 가장 큰 수의 기록을 수립한다.
• 동일한 5-큐비트 프로세서에서 4개의 큐비트를 사용하여 이소수 966887이 성공적으로 인수분해되었으며, 이는 방법의 확장성에 대한 추가적인 검증을 제공한다.
• 삼소수 175가 5-큐비트 프로세서에서 실험적으로 인수분해되었으며, 이는 양자 장치에서 삼소수 인수분해의 첫 성공적인 실험적 증명이다.
• 실험적 결과와 이론적 결과 사이에 강한 일치를 보이며, 노이즈 및 디코herence에 대한 강건성을 입증한 높은 정밀도의 결과를 관찰하였다.
• 175의 경우 2개의 큐비트, 966887의 경우 4개의 큐비트만으로도 인수분해를 달성하여, 계산의 어려움이 수의 크기보다는 인수의 구조에 따라 결정됨을 보여주었다.
• 16-큐비트 ibmqx5 프로세서는 더 복잡한 회로를 구현할 수 있었으며, 게이트 및 읽기 오류율이 10−2에서 10−3 수준으로 향상되어, 이 방법을 더 큰 정수로 확장하는 것이 가능함을 뒷받침한다.