[논문 리뷰] Exact Simulation of One-dimensional Stochastic Differential Equations involving the local time at zero of the unknown process

Pierre Étoré, Miguel Martínez|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 13.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 1차원 SDE에 대해 국소 시간 항이 포함된 경우를 다루기 위해 고전적 정확한 시뮬레이션 기법을 확장한다. 이는 국소 시간 항이 있는 목표 확률적 과정을 비틀린 브라운 운동과의 Girsanov 변환을 통해 연결함으로써, 비틀린 브라운 운동과의 다이브 브릿지 법칙이 해석 가능하기 때문에 정확한 경로 샘플링이 가능해진다. 주요 기여는 비틀린 브라운 운동과의 다이브 브릿지 법칙을 활용하여 국소 시간 항이 SDE 역학에 포함된 경우에도 정확한 경로 재구성 기반의 시뮬레이션 알고리즘을 제공하는 것이다.

ABSTRACT

In this article we extend the exact simulation methods of Beskos et al. to the solutions of one-dimensional stochastic differential equations involving the local time of the unknown process at point zero. In order to perform the method we compute the law of the skew Brownian motion with drift. The method presented in this article covers the case where the solution of the SDE with local time corresponds to a divergence form operator with a discontinuous coefficient at zero. Numerical examples are shown to illustrate the method and the performances are compared with more traditional discretization schemes.

연구 동기 및 목표

• 국소 시간 항이 0에서 포함된 1차원 SDE에 대한 정확한 시뮬레이션 방법을 개발함으로써, 기존 고전적 정확한 시뮬레이션 기법이 다루지 못하는 영역을 커버하고자 한다.
• 국소 시간 성분으로 인해 이러한 SDE가 브라운 운동 측도에 대해 절대 연속이 아니라는 문제를 해결하고자 한다.
• Beskos 등이 제시한 정확한 시뮬레이션 프레임워크를 0에서 비틀림이 있는 과정, 특히 계수의 불연속성이 있는 발산형 형식의 미분연산자로부터 유도된 과정으로 확장하고자 한다.
• 불연속된 비율을 가지는 확산 과정과 함께 0에서 국소 시간 항이 포함된 과정의 시뮬레이션을 가능하게 하여, 불연속성 있는 매질을 모델링하는 데 유용하게 하고자 한다.
• 미래의 다중 비틀림 지점 또는 유계가 아닌 비율 함수로의 확장을 위한 기반을 마련하고자 한다.

제안 방법

• 목표 과정의 법을 비틀린 브라운 운동과의 다이브에 대해 절대 연속으로 표현하기 위해 Girsanov 변환을 사용함으로써, Radon-Nikodym 도수에서 국소 시간 항을 제거한다.
• 비틀린 브라운 운동과의 다이브의 알려진 전이 밀도를 활용하여 Girsanov 변환에서의 가능도 비율을 계산한다.
• Pitman-Yor(1991)의 결과를 기반으로, 비틀린 브라운 운동과의 다이브의 브릿지 법칙을 시간 반전 및 근처 분해 기법을 통해 특성화한다.
• 최대값과 최초 도달 시간의 공동 분포를 사용하여 브릿지 경로를 독립적인 조각들로 분해함으로써 정확한 경로 재구성을 가능하게 한다.
• 최대값과 도달 시간에 조건을 두어 비틀린 브라운 운동과의 다이브에서의 첫 번째 도달 시간 분포를 활용하여 브릿지 경로를 시뮬레이션한다.
• Girsanov 측도 변환과 기준 비틀린 브라운 운동 브릿지의 정확한 시뮬레이션을 조합하여 정확한 시뮬레이션 알고리즘을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 시간 항이 0에 포함된 1차원 SDE에 대해 고전적 정확한 시뮬레이션 기법의 범위를 넘어서 정확한 시뮬레이션을 확장할 수 있는가?
• RQ2 Girsanov 변환에서 0에서의 국소 시간 항을 어떻게 다루어야 기준 측도가 해석 가능해지는가?
• RQ3 비틀린 브라운 운동과의 다이브의 브릿지 법칙은 무엇이며, 이를 정확하게 시뮬레이션하여 경로 재구성에 활용할 수 있는가?
• RQ4 기존 SDE의 경우와 마찬가지로 비율 함수의 유계성 조건을 완화할 수 있는가?
• RQ5 비틀림 파라미터 β ≠ 0가 불연속 계수를 가지는 확산 과정의 시뮬레이션에 미치는 영향은 무엇인가?

주요 결과

• 국소 시간 항이 포함된 SDE의 해 법은 비틀린 브라운 운동과의 다이브 법에 대해 절대 연속이므로, Girsanov 기반 정확한 시뮬레이션을 적용할 수 있다.
• 비틀린 브라운 운동과의 다이브의 전이 밀도가 명시적으로 유도되었으며, 이는 Girsanov 변환에서 가능도 비율 계산에 사용된다.
• 비틀린 브라운 운동과의 다이브의 브릿지 법칙은 Pitman-Yor(1991)의 결과를 바탕으로 최대값과 최초 도달 시간의 공동 분포를 통해 특성화된다.
• 시간 반전 및 근처 분해 기법을 활용하여 브릿지 경로를 독립적인 조각들로 분해함으로써 정확한 전체 경로 재구성이 가능해진다.
• 수치 예제들은 이 방법이 정확도 면에서 기존의 이탈러 스킴과 같은 표준 이산화 기법보다 뛰어난 성능을 보임을 확인한다.
• 이 방법은 0에서 계수의 불연속성이 있는 발산형 형식의 미분연산자에 대응하는 SDE에 적용 가능하며, 생태학적, 지구물리학적, 생물의학적 모델링에서 중요한 응용을 가진다.