[논문 리뷰] Exact solutions for a Solow-Swan model with non-constant returns to scale

Nicolò Cangiotti, Mattia Sensi|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 13.

Economic theories and models참고 문헌 34인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 고정되지 않은 규모의 수익이 적용되는 솔로-스완 성장 모델에 대해 정확한 해석적 해를 유도한다. 코브-다우글라스 생산함수를 사용하며, 고전적 및 폰 베르탈란피의 노동 동역학 프레임워크 모두를 적용한다. 자본-노동 비율에 대한 비자기적인 미분방정식을 도입하고, 치환과 적분을 통해 닫힌 형태의 해를 제공한다. 이는 증가 또는 감소 수익의 규모에 따라 다릅니다. 수치 시뮬레이션을 통해 검증된다.

ABSTRACT

The Solow-Swan model is shortly reviewed from a mathematical point of view. By considering non-constant returns to scale, we obtain a general solution strategy. We then compute the exact solution for the Cobb-Douglas production function, for both the classical model and the von Bertalanffy model. Numerical simulations are provided.

연구 동기 및 목표

• 표준 네오클래식 성장 이론에서 제한적인 가정인 일정한 수익의 규모를 초월하여 고전적 솔로-스완 모델을 확장하기 위해.
• 자본-노동 비율에 대해 비정상적인 수익의 규모(증가 또는 감소)가 적용될 경우 코브-다우글라스 생산함수를 사용하여 정확한 해석적 해를 도출하기 위해.
• 노동 성장 동역학 두 가지 유형에 대해 분석하기 위해: 기하급수적(고전적) 및 시그모이드형(폰 베르탈란피), 둘 다 비정상적인 수익의 규모를 포함한다.
• 치환 및 적분 기법을 통해 닫힌 형태의 해를 제공함으로써 장기 성장 경로의 정확한 특성화를 가능하게 하기 위해.
• 증가 또는 감소 수익의 규모에 따라 행동을 비교하는 수치 시뮬레이션을 통해 이론적 결과를 검증하기 위해.

제안 방법

• 비정상적인 수익의 규모를 가진 경우, 동차 생산함수의 차수 n을 사용하여 자본-노동 비율 k(t)에 대한 비자기적인 일阶 미분방정식을 공식적으로 유도한다.
• 비선형 미분방정식을 선형 일阶 미분방정식으로 변환하기 위해 치환 v = k^{1−α}를 적용하고, 적분 인자 방법을 통해 정확한 해를 도출한다.
• 기하급수적 노동 성장 L(t) = L₀e^{γt}를 가진 고전적 모델과 L(t) = L∞ − (L∞ − L₀)e^{−rt}를 가진 폰 베르탈란피 모델에 대한 정확한 닫힌 형태의 해를 유도한다.
• 폰 베르탈란피 모델에서 α = 1인 경우, 특수 함수인 초함수 ₂F₁를 사용한다.
• 표준 ODE 해법기를 사용하여 유도된 해를 수치적으로 통합하여 다양한 매개변수 영역에서의 역학을 시각화한다.
• n(수익의 규모), α(자본 기여도), 그리고 초기 조건의 다양한 값에 따른 해의 행동을 체계적으로 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정상적인 수익의 규모(즉, n ≠ 1)를 가진 솔로-스완 모델에서 기하급수적 노동 성장이 적용될 경우 자본-노동 비율은 시간이 지남에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ2 고전적 솔로-스완 프레임워크에서 비정상적인 수익의 규모와 코브-다우글라스 생산함수를 가질 경우 자본-노동 비율에 대한 정확한 해석적 해는 무엇인가?
• RQ3 유한한 노동 한계를 가정하는 폰 베르탈란피 노동 성장 모델은 비정상적인 수익의 규모를 가진 자본 축적의 역학을 어떻게 변화시키는가?
• RQ4 두 모델 유형 모두에서 증가 수익(n > 1)과 감소 수익(n < 1) 간의 장기 성장 행동에 있어 정성적인 차이는 무엇인가?
• RQ5 수치 시뮬레이션은 증가 또는 감소 수익의 규모에 따라 수렴 또는 폭발적 성장의 이론적 예측을 어느 정도 확인하는가?

주요 결과

• n < 1(감소 수익)인 고전적 모델의 경우, 지수 함수와 거듭제곱 함수를 포함하는 정확한 해에 의해 초기 조건과 무관하게 자본-노동 비율이 안정된 정상 상태로 수렴함을 보여준다.
• n > 1(증가 수익)인 고전적 모델의 경우, 증가 수익의 가속 효과로 인해 초기 자본 수준과 무관하게 자본-노동 비율이 지수적으로 증가함을 보여준다.
• n < 1인 폰 베르탈란피 모델의 경우, 자본-노동 비율은 초기에 급격히 감소한 후 지수적 성장으로 전환되며, 초기 값에 민감하게 반응한다.
• n > 1인 폰 베르탈란피 모델의 경우, 초기 단계에서 자본-노동 비율은 초기 조건에 강하게 의존하며, 이후 지수적 성장으로 이어져 지연되었지만 지속적인 가속을 나타낸다.
• α = 1인 폰 베르탈란피 모델의 정확한 해는 초함수 ₂F₁를 포함하며, 비정상적인 수익과 시그모이드형 노동 동역학으로 인한 수학적 복잡성을 보여준다.
• 수치 시뮬레이션은 고전적 모델에 비해 폰 베르탈란피 모델이 증가 수익과 감소 수익의 경우 간의 분리 현상을 완화시키며, 한계가 있는 노동의 존재가 안정화 효과를 가짐을 시사한다.