[논문 리뷰] Exact Solutions to Some Conformable Time Fractional Equations in Benjamin-Bona-Mahony Family

Alper Korkmaz|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 21.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 16인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 수정 Kudryashov 방법을 사용하여 conformable 시간 분수형 Benjamin-Bona-Mahony (BBM), 대칭 BBM 및 등용량 (EW) 방정식에 대한 정확한 해석적 해를 제시한다. 분수형 편미분방정식을 상미분방정식으로 줄이기 위해 파동 변환을 적용함으로써, 지수 함수를 포함한 명시적 솔리톤 유사 해를 도출한다. 해는 분수형 차수 α ∈ (0,1] 범위에서 시각화된다.

ABSTRACT

The conformable time fractional forms of some partial differential equations are solved in the study. The existence of chain rule and the derivative of composite function enable the equations to be reduced to some ordinary differential equations by using some particular wave transformations. The modified Kudryashov method implemented to derive the exact solutions for the Benjamin-Bona Mahony (BBM), the symmetric BBM and the equal width (EW) equations in the conformable fractional time derivative forms. The obtained explicit solutions are illustrated for some time fractional orders in the interval $(0,1]$.

연구 동기 및 목표

• BBM 계열의 conformable 시간 분수형 편미분방정식에 대한 정확한 해석적 해를 유도하는 것.
• 파동 변환을 통해 분수형 차수 방정식에 수정 Kudryashov 방법을 적용하여 편미분방정식을 상미분방정식으로 줄이는 것.
• conformable 미분 프레임워크 내에서 쌍곡선 및 지수 함수를 포함한 명시적 해의 존재성과 구조를 조사하는 것.
• 다양한 분수형 차수 α ∈ (0,1] 에서 해의 행동을 시각화하고 분석하는 것.

제안 방법

• α ∈ (0,1] 에 대해 T_α(u)(t) = t^{1−α} du/dt 를 정의하는 conformable 분수형 도함수를 사용하여 체인 규칙 및 도함수 규칙을 적용할 수 있도록 한다.
• 시간 분수형 편미분방정식을 상미분방정식(OED)으로 줄이기 위해 파동 변환 ξ = x − (c/α)t^α 를 적용한다.
• 일阶 미분방정식을 만족하는 함수 φ(ξ) 의 유한 급수 형태로 해를 가정하는 수정 Kudryashov 방법을 적용한다.
• 가정된 해를 감소된 ODE에 대입하고 비선형 항과 최고차수 도함수 항의 균형을 맞춰 계수 관계를 도출한다.
• 알 수 없는 매개변수 (a₀, a₁, a₂, c) 를 구하기 위해 유도된 대수방정식계를 풀어 A^ξ 와 d 로 표현된 명시적 해를 구성한다.
• 해를 원래 변수 x 와 t 로 되돌려, 분수형 시간 의존성 t^α 를 반영한 해를 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수정 Kudryashov 방법은 conformable 시간 분수형 BBM 유형 방정식에 대해 정확한 해를 성공적으로 유도할 수 있는가?
• RQ2 conformable 도함수 프레임워크 하에서 분수형 BBM, 대칭 BBM 및 EW 방정식의 해는 구조적 및 행동적으로 어떻게 다를까?
• RQ3 분수형 차수 α ∈ (0,1] 가 유도된 해의 형태와 전파에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 가정된 해의 형태 및 계수 균형 절차가 일관되고 명시적인 해를 도출할 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ5 매개변수 ε, δ, K, A 및 d 는 얻어진 해의 형태와 동역학에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 수정 Kudryashov 방법을 사용하여 conformable 시간 분수형 BBM, 대칭 BBM 및 EW 방정식에 대해 명시적 정확한 해를 도출하였다.
• 해 u₄(x,t) 는 ξ = x − √2 D (t^α / α) 를 포함하는 1/(1 + dA^ξ) 와 1/(1 + dA^ξ)² 의 조합으로 표현되며, D = √(Kε / (−1 + δ² (ln A)⁴)) 이다.
• α = 1 인 경우 해는 고전적 정수형 차수 경우로 줄어들며, 기존 결과와의 일致성을 확인한다.
• 해 u₄(x,t) 는 α = 0.25, 0.50, 0.80 및 α = 1 에 대해 시각화되었으며, 분수형 차수 감소에 따라 파동 프로파일이 어떻게 변화하는지 보여준다.
• 비선형 대수방정식계의 계수 균형에서 유도된 절차를 통해 매개변수 a₀, a₁, a₂ 및 c 를 결정함으로써 방법이 성공적으로 해를 도출하였다.
• 유도된 해는 분수형 시간 지수 t^α 를 통해 조절되는 솔리톤 유사 프로파일을 포함하며, 시간 분수형 분산 및 전파 효과를 나타낸다.