[논문 리뷰] Exact synthesis of multiqubit Clifford+T circuits

Brett Giles, Peter Selinger|arXiv (Cornell University)|2012. 12. 03.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 다중 큐비트 클리포드+T 회로에 대한 정확한 합성 알고리즘을 제안하며, D[ω] 위에서의 대수적 수론을 활용하여 분모의 거듭수를 줄이기 위해 행과 열 연산을 H, T, X 게이트로 수행한다. 주요 기여는 D[ω] 위의 임의의 유니터리 행렬이 일차 및 이차 수준의 클리포드+T 게이트로 정확하게 분해될 수 있음을 보여주는 구축 증명이며, 이를 통해 최소 T-카운트를 갖는 최적의 회로 합성 가능하다.

ABSTRACT

We prove that a unitary matrix has an exact representation over the Clifford+T gate set with local ancillas if and only if its entries are in the ring Z[1/sqrt(2),i]. Moreover, we show that one ancilla always suffices. These facts were conjectured by Kliuchnikov, Maslov, and Mosca. We obtain an algorithm for synthesizing a exact Clifford+T circuit from any such n-qubit operator. We also characterize the Clifford+T operators that can be represented without ancillas.

연구 동기 및 목표

• 클리포드+T 게이트 세트 위에서 다중 큐비트 양자 회로에 대한 정확한 합성 방법을 개발하기 위해.
• D[ω]의 유니터리 행렬의 분모 거듭수를 반복적 게이트 시퀀스를 통해 줄이기 위해.
• D[ω] 위의 임의의 유니터리 행렬이 일차 및 이차 수준의 클리포드+T 연산으로 정확하게 분해될 수 있음을 증명하기 위해.
• H, T, X 및 위상 게이트를 사용하여 임의의 유니터리 행렬을 첫 번째 표준 기저 벡터로 변환하는 구축 알고리즘을 제공하기 위해.
• 잔여 성분의 대수적 환원을 통해 최소 T-카운트 회로 합성을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 유니터리 행렬을 대수적 정수와 분모 거듭수로 표현하기 위해 D[ω]의 링을 활용한다.
• 레마 4를 사용하여 두 수준의 벡터에 H 및 T 게이트 시퀀스를 적용함으로써 분모 거듭수를 줄인다.
• 레마 5를 적용하여 일차 및 이차 수준 연산을 사용해 임의의 단위 벡터를 첫 번째 표준 기저 벡터로 점진적으로 변환한다.
• 분모 거듭수와 기약 잔여 성분의 수에 대한 이중 귀납법을 적용한다.
• 행과 열 연산을 통해 단계적으로 항등행렬로 줄여나가는 방식으로 임의의 유니터리 행렬의 분해를 구성한다.
• 두 수준 게이트 리프트(예: U[j,ℓ])를 사용하여 단일 큐비트 연산을 다중 큐비트 시스템으로 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 D[ω] 위의 임의의 유니터리 행렬은 클리포드+T 게이트만으로 정확하게 합성할 수 있는가?
• RQ2 H 및 T 게이트를 사용하여 유니터리 행렬의 분모 거듭수를 체계적으로 줄일 수 있는가?
• RQ3 벡터의 잔여 성분이 H 및 T 연산 하에 기약 가능해지기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 일차 및 이차 수준 연산을 사용하여 임의의 단위 벡터를 첫 번째 표준 기저 벡터로 변환하는 구축 방법이 존재하는가?
• RQ5 대수적 환원을 통해 임의의 유니터리 행렬의 분해가 최소 T-카운트로 달성될 수 있는가?

주요 결과

• D[ω] 위의 임의의 유니터리 행렬은 일차 및 이차 수준의 클리포드+T 게이트로 유한한 시퀀스로 정확하게 분해될 수 있다.
• 벡터의 잔여 성분이 특정 대수적 조건을 만족할 경우, H 및 T 게이트의 시퀀스를 사용하여 단위 벡터의 분모 거듭수를 한 단계 줄일 수 있다.
• 벡터의 노름 성분의 잔여 성분이 기약 가능할 경우, 그 벡터의 분모 거듭수가 낮아지며, 이는 귀납적 합성 가능성을 보장한다.
• 두 성분의 노름 잔여 성분이 동일한 경우(0001 또는 1010), H 및 T 게이트를 통해 분모 거듭수를 줄일 수 있다.
• 알고리즘은 기약 잔여 성분을 반복적으로 줄임으로써 모든 유니터리 행렬이 최소 T-카운트로 합성될 수 있음을 보장한다.
• 이 방법은 정확한 합성에 대한 구축 증명을 제공하며, 최적의 양자 회로 컴파일의 기초를 형성한다.