[논문 리뷰] Exact Time-Dependent Solution to the Three-Dimensional Euler- Helmholtz and Riemann-Hopf Equations for Vortex Flow of a Compressible Medium and the Sixth Millennium Prize Problem

S. G. Chefranov, S. G. Chefranov|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 21.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 30인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비압축성 이상 유체에서의 삼차원 오일러-헬름홀츠 및 리만-홉 수식에 대해 시간에 따라 변하는 정확한 해를 처음으로 제시하며, 특정 조건 하에서 에스트로피의 유한 시간 내 특이점 형성을 입증한다. 이는 난류이론의 핵심 문제를 정확히 해결하고, 도입된 점성 또는 마찰을 통해 압축성 레이놀즈 수 방정식에 대해 부드럽고 전역적으로 연장 가능한 해를 제공함으로써 일반화된 밀레니엄 상자 문제에 대한 긍정적인 해결책을 제시한다.

ABSTRACT

For the first time the exact vortex solution of the Cauchy problem in unbounded space is obtained for the three-dimensional Euler-Helmholtz (EH) equation in the case of a nonzero-divergence velocity field for an ideal compressible medium. The solution obtained describes the inertial vortex motion and coincides with the exact solution to the three-dimensional Riemann-Hopf (RH) equation which simulates turbulence without pressure [Chefranov, 1991]. A necessary and sufficient condition of the onset of a singularity in the evolution of the enstrophy in finite time t=t0 is obtained for this solution when its continuation is possible in times t>=t0 in the Sobolev space H^0(R^3) but cannot be made in H^1(R^3). A closed description of the evolution of the enstrophy and the all other moments of the velocity and vortex fields is given, i.e., the main problem of theory of turbulence is solved exactly. The possibility of continuation of the obtained smooth solution to the EH an RH equations in the Sobolev space H^q(R^3) is also demonstrated for any q>=1 and t>=t0 due to introduction of a fairly large homogeneous friction or by introducing an arbitrary small effective volume viscosity. A new analytic solution of the Cauchy problem for the three-dimensional Navier-Stokes (NS) equation is obtained. This solution coincides with the above-mentioned smooth solution to the EH and RH equations, which take into account the viscosity effect of a compressible medium and also the sufficient condition of positive definiteness of the growth rate of the entropy in the form of a linear relation between the pressure and the divergence of the velocity field. This gives the positive solution to the generalization of the Millennium Prize Problem on the compressible Navier-Stokes equation where only the modification of viscous force is used (by introduction of homogeneous friction and etc.).

연구 동기 및 목표

• 비압축성 이상 유체에서 비산란성 속도장이 존재하는 삼차원 오일러-헬름홀츠 방정식에 대한 정확한 시간에 따라 변하는 해를 유도하는 것.
• 소볼레프 공간 H^0(R^3)에서는 유한하지만 H^1(R^3)에서는 유한하지 않은 조건에서 에스트로피의 유한 시간 특이점 발생에 대한 필요충분조건을 확립하는 것.
• 모든 속도 및 코리올리 필드의 모멘트의 진동수를 닫힌 형태로 기술함으로써 난류이론의 核심 문제를 정확히 해결하는 것.
• 동차 마찰 또는 효과적 체적 점성도를 도입하여 오일러-헬름홀츠 및 리만-홉 수식의 부드러운 해를 모든 q ≥ 1 및 t ≥ t₀에 대해 소볼레프 공간 H^q(R^3)로 전역적으로 연장하는 것.
• 엔트로피 증가 조건을 만족하고 일반화된 밀레니엄 상자 문제를 해결하는 삼차원 압축성 레이놀즈 수 방정식에 대한 새로운 해석적 해를 구성하는 것.

제안 방법

• 비압축성 이상 유체에서 비산란성 속도장이 존재하는 삼차원 오일러-헬름홀츠 방정식에 대한 정확한 비오르비터 해를 무한한 공간에서 유도하는 것.
• 소볼레프 공간 분석을 통해 H^1(R^3)에서 에스트로피 진동수가 특이해지는 임계 시간 t₀를 확인하고, H^0(R^3)에서는 여전히 유한함을 입증하는 것.
• H^q(R^3) 공간에서 모든 q ≥ 1 및 t ≥ t₀에 대해 해의 전역 연속성을 보장하기 위해 동차 마찰 또는 임의의 작은 효과적 체적 점성도를 도입하는 것.
• 압력과 속도 수렴도 사이의 선형 관계로서 열역학적 일관성을 확보하는 조건을 만족하는 해의 성립을 입증하는 것.
• 수정된 오일러-헬름홀츠/리만-홉 해와 동일한 점성 및 엔트로피 조건 하에서 압축성 레이놀즈 수 방정식에 대한 새로운 정확한 해와의 등가성을 확립하는 것.
• 리만-홉 수식을 압력이 없는 난류 모델로 활용하고, 오일러-헬름홀츠 시스템에 대한 정확한 해와의 일치를 통해 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비압축성 이상 유체에서 비산란성 속도장이 존재하는 삼차원 오일러-헬름홀츠 방정식에 대한 정확한 시간에 따라 변하는 해는 무엇인가? (무한한 공간에서)
• RQ2 에스트로피가 H^1(R^3)에서 유한 시간 특이점을 보일 조건은 무엇인가? 그러나 H^0(R^3)에서는 여전히 유한하다.
• RQ3 해는 t₀ 이후의 시간 t ≥ t₀에 대해 고차 소볼레프 공간 H^q(R^3) (q ≥ 1)에서 전역적으로 연장될 수 있는가?
• RQ4 오일러-헬름홀츠 및 리만-홉 수식의 부드러운 해는 어떻게 압축성 레이놀즈 수 방정식으로 확장되어 물리적 일관성을 확보할 수 있는가?
• RQ5 제안된 해는 압력-수렴도 선형관계 형태로 양의 엔트로피 증가율 조건을 만족하는가?

주요 결과

• 논문은 비압축성 이상 유체에서 비산란성 속도장이 존재하는 삼차원 오일러-헬름홀츠 방정식에 대해 처음으로 정확한 시간에 따라 변하는 해를 도출한다.
• 에스트로피의 유한 시간 특이점 발생에 대한 필요충분조건이 확립되었으며, 이는 시간 t₀에서 발생한다. 이 시점에서 해는 H^0(R^3)에 속하지만 H^1(R^3)로는 연장될 수 없다.
• 속도 및 코리올리 필드의 모든 모멘트의 진동수 변화가 닫힌 형태로 기술되었으며, 난류이론의 근본 문제를 정확히 해결한다.
• 동차 마찰 또는 효과적 체적 점성도를 도입함으로써 t ≥ t₀에 대해 모든 소볼레프 공간 H^q(R^3) (q ≥ 1)에서 해를 전역적으로 연장할 수 있다.
• 압축성 레이놀즈 수 방정식에 대한 새로운 정확한 해가 구성되었으며, 이는 점성 및 엔트로피 조건 하에서 오일러-헬름홀츠/리만-홉 해와 일치하고 엔트로피 증가 조건을 만족한다.
• 해는 새로운 외력 항을 요구하지 않고 점성 조정을 통해 압축성 레이놀즈 수 방정식에 대한 일반화된 밀레니엄 상자 문제에 대해 긍정적인 해결책을 제공한다.